FicheNiveau : 6E → 3E

Reconnaître les solides : cube, pavé, prisme, pyramide, cylindre, cône, boule

Le vocabulaire des solides, comment reconnaître chacun, la perspective cavalière, compter faces, arêtes et sommets, et les formules de volume.

L’essentiel

Le vocabulaire

Une face est une surface qui limite le solide ; une arête est le segment où deux faces se rencontrent ; un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent.
Les bases sont les faces qui donnent son nom au solide (« prisme à base triangulaire ») ; les autres faces sont les faces latérales.
Un polyèdre n’a que des faces planes (des polygones) : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide.
Un solide de révolution est obtenu en faisant tourner une figure plane autour d’un axe ; il a une surface courbe : cylindre, cône, boule.

Les polyèdres

Pavé droit : six faces rectangulaires. Ses faces opposées sont superposables (c’est la forme d’une boîte à chaussures).
Cube : six faces carrées, toutes superposables. Un cube est un pavé droit particulier.
Prisme droit : deux bases superposables et parallèles, qui sont des polygones (triangles, hexagones…), reliées par des faces latérales rectangulaires. Un pavé droit est un prisme droit particulier, dont les bases sont des rectangles.
Pyramide : une base qui est un polygone, et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent toutes en un même point, le sommet de la pyramide (on dit aussi « apex »).

Les solides de révolution

Cylindre de révolution : deux bases qui sont des disques superposables et parallèles, reliées par une surface courbe (une boîte de conserve).
Cône de révolution : une base qui est un disque, et une surface courbe qui se referme en un sommet (un cornet de glace).
Boule : tous les points situés à une distance du centre inférieure ou égale au rayon. Sa surface s’appelle la sphère.

Un truc pour trier : deux bases parallèles et superposables, c’est un prisme ou un cylindre ; une seule base et une pointe, c’est une pyramide ou un cône. Faces planes : prisme ou pyramide ; surface courbe : cylindre ou cône.

La perspective cavalière

C’est la façon habituelle de dessiner un solide sur une feuille.

Les faces de devant (et celles de derrière qui leur sont parallèles) sont dessinées en vraie grandeur : un carré reste un carré.
Les arêtes qui partent vers l’arrière, les fuyantes, sont tracées en oblique, parallèles entre elles, et souvent raccourcies.
Les arêtes cachées sont en pointillés.
Des arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin. En revanche, sur les faces qui fuient vers l’arrière, les angles droits ne sont plus dessinés droits, et les fuyantes ne sont pas en vraie grandeur : on ne mesure pas sur le dessin.

Compter faces, arêtes et sommets

Solide	Faces	Arêtes	Sommets
cube, pavé droit	$6$	$12$	$8$
prisme droit à base triangulaire	$5$	$9$	$6$
pyramide à base carrée	$5$	$8$	$5$
pyramide à base triangulaire	$4$	$6$	$4$

Pour ne rien oublier, on compte par étages, en pensant aux arêtes cachées (en pointillés) :

prisme dont la base a $n$ côtés : $n$ arêtes sur la base du bas, $n$ sur celle du haut, $n$ arêtes latérales, soit $3n$ arêtes ; $n$ sommets en bas et $n$ en haut, soit $2n$ ; $2$ bases et $n$ faces latérales, soit $n + 2$ faces ;
pyramide dont la base a $n$ côtés : $n$ arêtes sur la base et $n$ qui montent au sommet, soit $2n$ arêtes ; $n$ sommets sur la base plus le sommet, soit $n + 1$ ; la base et $n$ faces latérales, soit $n + 1$ faces.

Pour vérifier. Pour ces polyèdres, le nombre de faces moins le nombre d’arêtes plus le nombre de sommets fait toujours $2$ : $F - A + S = 2$ (relation d’Euler). Pour le cube : $6 - 12 + 8 = 2$ . Elle n’est pas au programme du collège, mais si le calcul ne donne pas $2$ , tu as oublié ou compté deux fois quelque chose.

Les solides de révolution ne se comptent pas ainsi : un cylindre n’a pas d’arêtes au sens des polyèdres.

Les volumes, en rappel

Le détail et les exemples sont dans la fiche Aires et volumes. On note $\mathcal{B}$ l’aire de la base et $h$ la hauteur.

Solide	Volume
cube d’arête $a$	$a^3$
pavé droit	$L \times \ell \times h$
prisme droit	$\mathcal{B} \times h$
cylindre de rayon $r$	$\pi r^2 \times h$
pyramide	$\dfrac{\mathcal{B} \times h}{3}$
cône de rayon $r$	$\dfrac{\pi r^2 \times h}{3}$
boule de rayon $r$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Pyramide et cône : c’est le volume du prisme ou du cylindre de même base et même hauteur, divisé par 3.

La méthode

Regarder les bases : combien (une ou deux) et de quelle forme (polygone ou disque).
Regarder les faces latérales : rectangles (prisme), triangles (pyramide) ou surface courbe (cylindre, cône).
Nommer le solide le plus précisément possible : « prisme droit à base triangulaire », « pyramide à base carrée ».

Exemples corrigés

Reconnaître. Un solide a deux faces hexagonales parallèles et superposables, et six faces rectangulaires. Deux bases polygonales et des faces latérales rectangulaires : c’est un prisme droit à base hexagonale.

Reconnaître un solideS’entraîner

Compter. Pour ce prisme, $n = 6$ : $6 + 2 = 8$ faces, $3 \times 6 = 18$ arêtes et $2 \times 6 = 12$ sommets. Vérification : $8 - 18 + 12 = 2$ .

Compter les faces, arêtes et sommets d’un solideS’entraîner

Un volume. Une pyramide a pour base un carré de côté $6$ cm et pour hauteur $5$ cm. L’aire de la base vaut $6 \times 6 = 36$ cm², donc

V = \frac{36 \times 5}{3} = \boxed{60 \text{ cm}^3}

Un cône. Un cône de révolution a un rayon de base de $3$ cm et une hauteur de $4$ cm :

V = \frac{\pi \times 3^2 \times 4}{3} = \frac{36\pi}{3} = \boxed{12\pi \text{ cm}^3}

Les pièges

Oublier les arêtes cachées. Sur un cube en perspective, on ne voit que $9$ arêtes en traits pleins : les $3$ autres sont en pointillés, et il y en a bien $12$ .
Confondre prisme et pyramide. Un prisme a deux bases et des faces latérales rectangulaires ; une pyramide a une base et des faces latérales triangulaires.
Confondre cylindre et cône. Le cylindre a deux disques, le cône un seul et une pointe.
Mesurer sur la perspective. Les fuyantes sont raccourcies et leurs angles déformés : les longueurs se lisent dans l’énoncé, pas sur le dessin.
Oublier de diviser par 3 pour la pyramide et le cône.
Confondre sphère et boule. La sphère est la surface, la boule est le solide plein ; c’est la boule qui a un volume.