FicheNiveau : 5E → 3E

Divisibilité, nombres premiers et décomposition

Critères de divisibilité, division euclidienne, nombres premiers jusqu’à 100 et décomposition en facteurs premiers pour simplifier une fraction.

L’essentiel

Un nombre $a$ est divisible par $b$ si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul : $a = b \times k$ avec $k$ entier. On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , et que $a$ est un multiple de $b$ .

Divisible par	si…	Exemple
$2$	le chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$	$574$
$3$	la somme des chiffres est divisible par $3$	$471$ : $4 + 7 + 1 = 12$
$5$	le chiffre des unités est $0$ ou $5$	$845$
$9$	la somme des chiffres est divisible par $9$	$738$ : $7 + 3 + 8 = 18$
$10$	le chiffre des unités est $0$	$930$

Un nombre entier est premier s’il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. $1$ n’est donc pas premier, et $2$ est le seul nombre premier pair. Les nombres premiers inférieurs à $100$ :

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ 97

Pour un nombre compris entre $10$ et $100$ , il suffit de tester $2$ , $3$ , $5$ et $7$ : s’il n’est divisible par aucun d’eux, il est premier.

La division euclidienne

Diviser $a$ par $b$ , c’est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que

a = b \times q + r \qquad\text{avec}\qquad 0 \leq r < b

On cherche le plus grand multiple de $b$ qui ne dépasse pas $a$ . Pour $87$ divisé par $6$ : $6 \times 14 = 84$ et $6 \times 15 = 90$ , trop grand. Donc $\boxed{87 = 6 \times 14 + 3}$ : quotient $14$ , reste $3$ .

Effectuer une division euclidienneS’entraîner

La décomposition en facteurs premiers

Tout entier supérieur ou égal à $2$ s’écrit comme un produit de nombres premiers, d’une seule façon (à l’ordre près). Pour le trouver, on divise par les nombres premiers dans l’ordre, tant que c’est possible ; les critères de divisibilité disent par quoi commencer :

360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 3 \times 15 = \boxed{2^3 \times 3^2 \times 5}

Cela sert à simplifier une fraction jusqu’au bout :

\dfrac{84}{120} = \dfrac{2^2 \times 3 \times 7}{2^3 \times 3 \times 5} = \dfrac{7}{2 \times 5} = \boxed{\dfrac{7}{10}}

Décomposer un nombre en facteurs premiersS’entraîner

Exemples corrigés

$91$ est-il premier ? Il n’est pas pair, $9 + 1 = 10$ n’est pas divisible par $3$ , il ne finit pas par $0$ ou $5$ . Mais $91 = 7 \times 13$ : il n’est pas premier.

$97$ est-il premier ? Pas divisible par $2$ , ni par $3$ ( $9 + 7 = 16$ ), ni par $5$ , ni par $7$ ( $7 \times 13 = 91$ et $7 \times 14 = 98$ ). Il est premier.

Reconnaître un nombre premierS’entraîner

Les pièges

$2^2 \times 9 \times 10$ vaut bien $360$ , mais ce n’est pas une décomposition en facteurs premiers : $9$ et $10$ ne sont pas premiers. Pense aussi à regrouper les facteurs égaux en puissances.
Un nombre impair n’est pas forcément premier : $9$ , $15$ , $21$ ne le sont pas, ni $51 = 3 \times 17$ ou $57 = 3 \times 19$ , qui ont l’air premiers.
Dans une division euclidienne, le reste est toujours plus petit que le diviseur : $87 = 6 \times 13 + 9$ est une égalité vraie, mais $9 > 6$ , ce n’est pas la division euclidienne.