FicheNiveau : 5E → 3E

Développer et factoriser une expression

La distributivité dans les deux sens, la double distributivité et la différence de deux carrés.

L’essentiel

Développer, c’est transformer un produit en somme. Factoriser, c’est l’inverse.

\underbrace{k(a + b)}_{\text{forme factorisée}} = \underbrace{ka + kb}_{\text{forme développée}}

Double distributivité :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Différence de deux carrés (très utile pour factoriser) :

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Chercher un facteur commun à tous les termes : dans $6x + 15$ , c’est $3$ .
L’écrire devant une parenthèse, et mettre dans la parenthèse ce qui reste : $6x + 15 = 3(2x + 5)$ .
S’il n’y a pas de facteur commun, chercher une différence de deux carrés : $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ .
Vérifier en redéveloppant.

-4(x - 3) = \boxed{-4x + 12}

(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = \boxed{x^2 - 3x - 10}

Oublier de distribuer le signe : $-4(x - 3) = -4x + 12$ , et non $-4x - 12$ .
Ne pas réduire à la fin : $x^2 - 5x + 2x - 10$ doit devenir $x^2 - 3x - 10$ .
$x^2 + 49$ ne se factorise pas avec $a^2 - b^2$ : il faut une différence.