FicheNiveau : 3E

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu : choisir la bonne formule et calculer une longueur.

L’essentiel

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, on repère :

  • l’hypoténuse, côté opposé à l’angle droit (le plus long) ;
  • le côté adjacent à l’angle, qui touche l’angle et n’est pas l’hypoténuse ;
  • le côté opposé à l’angle, en face de lui.
cos⁡=adjacenthypoteˊnusesin⁡=opposeˊhypoteˊnusetan⁡=opposeˊadjacent\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}

Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA.

La méthode pour calculer une longueur

  1. Repérer l’angle connu, puis nommer les côtés par rapport à cet angle.
  2. Choisir la formule qui relie le côté connu et le côté cherché.
  3. Remplacer et calculer.

Exemple corrigé

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=10BC = 10 cm et cos⁡(ABC^)=0,6\cos(\widehat{ABC}) = 0{,}6. On cherche ABAB, côté adjacent à l’angle ABC^\widehat{ABC} :

cos⁡(ABC^)=ABBCdoncAB=BC×cos⁡(ABC^)=10×0,6=6 cm\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} \quad\text{donc}\quad AB = BC \times \cos(\widehat{ABC}) = 10 \times 0{,}6 = \boxed{6 \text{ cm}}

Avec AB=3AB = 3 cm et BC=5BC = 5 cm, on obtient au contraire le cosinus : cos⁡(ABC^)=35=0,6\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{3}{5} = \boxed{0{,}6}.

Trigonométrie : calculer un rapport ou une longueurS’entraîner

Les pièges

  • Les mots « adjacent » et « opposé » dépendent de l’angle choisi : ils changent si l’on regarde l’autre angle aigu.
  • Ces formules ne s’appliquent que dans un triangle rectangle.
  • Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours entre 0 et 1 : un résultat plus grand signale une erreur.
  • À la calculatrice, vérifier qu’elle est réglée en degrés.