Symétries et translation

Symétrie axiale, symétrie centrale et translation : les définitions, ce qu’elles conservent et le calcul des coordonnées d’une image dans un repère.

L’essentiel

• Symétrie axiale d’axe $(d)$ : $A'$ est le symétrique de $A$ si $(d)$ est la médiatrice du segment $[AA']$. C’est un pliage le long de l’axe : les deux figures se superposent.
• Symétrie centrale de centre $O$ : $A'$ est le symétrique de $A$ si $O$ est le milieu du segment $[AA']$. C’est un demi-tour autour de $O$.
• Translation : tous les points font le même déplacement (même direction, même sens, même longueur). C’est un glissement. « La translation qui transforme $B$ en $C$ » fait glisser chaque point comme on va de $B$ à $C$.
• Un point de l’axe est son propre symétrique ; le centre $O$ aussi.

Ce qu’elles conservent

Les trois transformations conservent :

• les longueurs ;
• les angles ;
• les aires ;
• l’alignement (trois points alignés ont des images alignées) et le parallélisme.

L’image d’une figure est donc une figure superposable : un triangle rectangle reste un triangle rectangle de mêmes dimensions.

Construire l’image d’un point

• Symétrie axiale : on trace la perpendiculaire à l’axe passant par $A$, et on reporte de l’autre côté la même distance à l’axe.
• Symétrie centrale : on trace la demi-droite $[AO)$ et on reporte au-delà de $O$ la longueur $AO$.
• Translation : on reproduit à partir de $A$ le déplacement qui mène de $B$ à $C$ (sur un quadrillage, on compte les carreaux).

Dans un repère

Pour un point $A(x \,;\, y)$ :

Symétrie par rapport à une droite verticale

Une droite verticale $d$ tracée sur le quadrillage passe par tous les points qui ont la même abscisse (par exemple $1$). L’ordonnée ne change pas. Pour l’abscisse, on mesure l’écart entre $A$ et la droite, et on le reporte de l’autre côté.

Symétrie par rapport à un point C

On calcule le déplacement qui mène de $A$ à $C$, puis on refait le même déplacement à partir de $C$ : on arrive en $A'$, et $C$ est bien le milieu de $[AA']$.

Image par une translation

On calcule le déplacement de $B$ vers $C$ : de combien changent l’abscisse et l’ordonnée. On ajoute ces deux nombres aux coordonnées du point à transformer.

Exemples corrigés

Les pièges