FicheNiveau : 4E · 3E

Le théorème de Thalès

Calculer une longueur avec deux droites parallèles, en écrivant correctement l’égalité des rapports.

L’essentiel

Dans un triangle $ABC$ , si $M$ est sur $[AB]$ , $N$ est sur $[AC]$ et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}

Le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ .

Vérifier que les droites sont parallèles et que les points sont bien alignés.
Écrire les trois rapports dans le même ordre : petit triangle en haut, grand triangle en bas.
Garder les deux rapports utiles, remplacer par les longueurs connues.
Calculer avec le produit en croix.

$AM = 3$ cm, $AB = 5$ cm et $AC = 10$ cm, avec $(MN) \parallel (BC)$ . On cherche $AN$ .

\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \quad\text{donc}\quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{AN}{10}

AN = \dfrac{3 \times 10}{5} = \boxed{6 \text{ cm}}

Mélanger les côtés des deux triangles dans un même rapport : chaque rapport compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand.
Utiliser Thalès sans parallélisme : l’égalité des rapports n’est alors pas valable.
Le rapport $\dfrac{MN}{BC}$ concerne les côtés parallèles, pas $\dfrac{MN}{AB}$ .