FicheNiveau : 4E · 3E

Racine carrée et carrés parfaits

La racine carrée d’un nombre positif, les carrés parfaits à connaître par cœur et l’encadrement d’une racine entre deux entiers.

L’essentiel

Définition. Si $a$ est un nombre positif, la racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre positif dont le carré vaut $a$ :

\sqrt{a} \geq 0 \quad\text{et}\quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a

Par exemple, $\sqrt{49} = 7$ car $7 \geq 0$ et $7^2 = 49$ .

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Ceux-là, il faut les connaître par cœur :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Lu dans l’autre sens, ce tableau donne les racines : $\sqrt{81} = 9$ , $\sqrt{121} = 11$ , $\sqrt{144} = 12$ .

La méthode

Racine d’un décimal simple

Cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, redonne le nombre de départ. Compte les chiffres après la virgule : le carré en a deux fois plus que le nombre.

$\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ car $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ ;
$\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ car $1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21$ ;
$\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ car $0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09$ .

Encadrer une racine entre deux entiers consécutifs

Quand le nombre n’est pas un carré parfait, sa racine n’est pas un entier. Pour l’encadrer :

Chercher les deux carrés parfaits qui entourent le nombre.
Prendre leurs racines.

Avec Pythagore

Le théorème de Pythagore donne le carré d’une longueur. La racine carrée donne la longueur elle-même : on garde la valeur positive, puisqu’une longueur est positive.

Exemples corrigés

Encadrer $\sqrt{50}$ . On a $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$ . Comme $49 < 50 < 64$ :

\boxed{7 < \sqrt{50} < 8}

Encadrer $\sqrt{130}$ . On a $11^2 = 121$ et $12^2 = 144$ , et $121 < 130 < 144$ , donc $\boxed{11 < \sqrt{130} < 12}$ .

Avec Pythagore. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , on trouve $BC^2 = 64$ . Alors $BC = \sqrt{64} = \boxed{8}$ .

Calculer et encadrer une racine carréeS’entraîner

Les pièges

$\sqrt{0{,}9}$ ne vaut pas $0{,}3$ : $0{,}3^2 = 0{,}09$ . Vérifie toujours en remettant au carré.
$\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$ : on a $\sqrt{25} = 5$ , alors que $3 + 4 = 7$ . On calcule d’abord ce qui est sous la racine.
Ne confonds pas racine carrée et moitié : $\sqrt{36} = 6$ , alors que $36 \div 2 = 18$ .
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : $\sqrt{-4}$ n’a pas de sens.