FicheNiveau : 4E · 3E

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Calculer une longueur dans un triangle rectangle, puis dire si un triangle est rectangle (et en quel sommet) avec la réciproque.

L’essentiel

Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :

BC^2 = AB^2 + AC^2

L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est toujours le plus long côté.

Réciproque. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

La méthode pour calculer une longueur

Repérer l’angle droit et donc l’hypoténuse.
Écrire l’égalité de Pythagore avec les noms des côtés.
Remplacer les longueurs connues et calculer.
Prendre la racine carrée (la longueur est positive).

La méthode pour savoir si un triangle est rectangle

Repérer le plus grand côté.
Calculer séparément son carré et la somme des carrés des deux autres côtés.
S’il y a égalité, le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore), et l’angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
Sinon, il n’est pas rectangle : s’il l’était, le théorème de Pythagore donnerait cette égalité.

Exemples corrigés

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm.

BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \quad\text{donc}\quad BC = \sqrt{100} = \boxed{10 \text{ cm}}

Calculer la longueur de l’hypoténuseS’entraîner

$EFG$ est rectangle en $E$ , avec $FG = 13$ cm et $EF = 5$ cm. On cherche $EG$ :

EG^2 = FG^2 - EF^2 = 169 - 25 = 144 \quad\text{donc}\quad EG = \boxed{12 \text{ cm}}

Dans $ABC$ , $AB = 8$ cm, $BC = 15$ cm et $AC = 17$ cm. Le plus grand côté est $[AC]$ :

AC^2 = 289 \qquad AB^2 + BC^2 = 64 + 225 = 289

Il y a égalité : $ABC$ est rectangle en $B$ , le sommet opposé à $[AC]$ .

Dans $DEF$ , $DE = 5$ cm, $EF = 12$ cm et $DF = 14$ cm :

DF^2 = 196 \qquad DE^2 + EF^2 = 25 + 144 = 169

$196 \neq 169$ : pas d’égalité. Si $DEF$ était rectangle, le théorème de Pythagore donnerait cette égalité. Le triangle $DEF$ n’est donc pas rectangle.

Un triangle est-il rectangle ? (réciproque de Pythagore)S’entraîner

Les pièges

Mettre l’hypoténuse du mauvais côté de l’égalité : elle est toujours seule.
Oublier la racine carrée à la fin : $BC^2 = 100$ ne donne pas $BC = 100$ .
L’angle droit n’est pas sur le plus grand côté : il est au sommet qui n’appartient pas à ce côté ( $B$ pour $[AC]$ ).
Ne pas écrire $AC^2 = AB^2 + BC^2$ avant de l’avoir vérifié : on calcule les deux membres à part, puis on compare.
La réciproque sert à montrer qu’un triangle est rectangle. Le théorème sert à calculer quand on sait qu’il l’est.