FicheNiveau : 5E → 3E

Programmes de calcul et scripts Scratch

Appliquer un programme de calcul, retrouver le nombre de départ, l’écrire en fonction de x, et lire un script Scratch de déplacement ou une variable.

L’essentiel

Un programme de calcul est une suite d’instructions à appliquer dans l’ordre, de la première à la dernière, à un nombre de départ.
Si le nombre de départ est négatif, on l’écrit entre parenthèses : $(-3) \times 4$ , $(-3)^2$ .
En appelant $x$ le nombre de départ, on écrit le résultat sous forme d’une expression en $x$ . Elle permet de prouver une propriété valable pour tous les nombres.
Un script Scratch est aussi un programme : le lutin exécute les blocs de haut en bas, et une boucle « répéter » refait les blocs qu’elle contient.

Appliquer un programme

Programme A :

choisir un nombre ;
ajouter $3$ ;
multiplier par $4$ ;
soustraire $5$ .

Avec $2$ : $2 + 3 = 5$ , puis $5 \times 4 = 20$ , puis $20 - 5 = \boxed{15}$ .

Avec $-7$ : $(-7) + 3 = -4$ , puis $(-4) \times 4 = -16$ , puis $-16 - 5 = \boxed{-21}$ .

Appliquer un programme de calculS’entraîner

Retrouver le nombre de départ

On remonte le programme : on part du résultat et on applique les opérations inverses, de la dernière instruction à la première.

Instruction	Opération inverse
ajouter $3$	soustraire $3$
soustraire $5$	ajouter $5$
multiplier par $4$	diviser par $4$
diviser par $2$	multiplier par $2$

Avec le programme A, on obtient $31$ . On remonte : $31 + 5 = 36$ , puis $36 \div 4 = 9$ , puis $9 - 3 = 6$ . Le nombre de départ est $\boxed{6}$ .

On vérifie toujours dans le bon sens : $6 + 3 = 9$ , $9 \times 4 = 36$ , $36 - 5 = 31$ .

Retrouver le nombre de départ d’un programmeS’entraîner

Écrire le résultat en fonction de x

On applique le programme à la lettre $x$ , en mettant des parenthèses dès qu’une opération porte sur tout le résultat précédent. Avec le programme A :

4(x + 3) - 5 = 4x + 12 - 5 = \boxed{4x + 7}

On contrôle avec un nombre déjà testé : pour $x = 2$ , $4 \times 2 + 7 = 15$ . C’est bien le résultat trouvé plus haut.

Écrire un programme de calcul en fonction de xS’entraîner

Montrer qu’un programme donne toujours le même résultat

Programme B : choisir un nombre, ajouter $5$ , multiplier par $2$ , soustraire le double du nombre de départ.

2(x + 5) - 2x = 2x + 10 - 2x = \boxed{10}

Quel que soit le nombre choisi, le résultat est $10$ . Essayer quelques nombres ne suffit pas : seul le calcul avec $x$ le prouve.

Montrer que deux programmes sont équivalents

On écrit les deux expressions et on les développe : si on obtient la même expression réduite, les deux programmes donnent toujours le même résultat. Pour montrer qu’ils ne sont pas équivalents, un seul contre-exemple suffit.

Lire un script Scratch

Déplacer le lutin

Le lutin se repère par son abscisse $x$ (horizontale) et son ordonnée $y$ (verticale).

« aller à x : $-100$ y : $0$ » place le lutin au point $(-100 \,;\, 0)$ ;
« ajouter $30$ à x » le déplace de $30$ vers la droite (avec $-30$ : vers la gauche) ;
« ajouter $20$ à y » le déplace de $20$ vers le haut ;
« répéter $4$ fois » exécute $4$ fois les blocs placés à l’intérieur.

Une variable

Une variable est une case qui garde un nombre en mémoire, et sa valeur peut changer pendant le script. « mettre nombre à $5$ » lui donne la valeur $5$ ; « ajouter $3$ à nombre » augmente sa valeur de $3$ ; « mettre nombre à nombre $\times 2$ » double sa valeur. Dans Scratch, la multiplication s’écrit avec le symbole *.

Exemples corrigés

Avec un carré. Programme : choisir un nombre, le mettre au carré, ajouter $1$ . Avec $-3$ : $(-3)^2 + 1 = 9 + 1 = \boxed{10}$ .

Deux programmes. Programme C : choisir $x$ , multiplier par $3$ , ajouter $6$ , ce qui donne $3x + 6$ . Programme D : choisir $x$ , ajouter $2$ , multiplier par $3$ , ce qui donne $3(x + 2) = 3x + 6$ . Les deux expressions sont égales : les programmes donnent toujours le même résultat.

En 3e, avec un carré. Programme : choisir $x$ , ajouter $1$ , mettre au carré, soustraire le carré du nombre de départ.

(x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = \boxed{2x + 1}

Pour $x = 4$ : $5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ , et $2 \times 4 + 1 = 9$ .

Script de déplacement. Le script suivant :

« aller à x : $0$ y : $0$ » ;
« répéter $3$ $3$ fois » :
- « ajouter $20$ à x » ;
- « ajouter $-10$ à y ».

À la fin, l’abscisse vaut $0 + 3 \times 20 = 60$ et l’ordonnée $0 + 3 \times (-10) = -30$ : le lutin est au point $\boxed{(60 \,;\, -30)}$ .

Suivre un script ScratchS’entraîner

Une variable. Le script « mettre nombre à $5$ », puis « mettre nombre à nombre $\times 2$ », puis « ajouter $3$ à nombre » fait passer la variable de $5$ à $10$ , puis à $\boxed{13}$ .

Les pièges

Oublier les parenthèses autour d’un négatif. $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ , alors que $-3^2 = -9$ : sans parenthèses, le carré ne porte que sur le $3$ .
Changer l’ordre des instructions. Avec $5$ : « multiplier par $2$ puis ajouter $3$ » donne $13$ , mais « ajouter $3$ puis multiplier par $2$ » donne $16$ .
Oublier les parenthèses en écrivant avec $x$ . « Ajouter $3$ puis multiplier par $4$ » s’écrit $4(x + 3)$ , et non $x + 3 \times 4$ .
Remonter dans le mauvais sens. Pour retrouver le nombre de départ, on commence par l’inverse de la dernière instruction.
Une boucle qui ne modifie qu’une coordonnée. Si la boucle ne contient que « ajouter $30$ à x », l’ordonnée ne change pas : elle garde la valeur donnée par « aller à ».