FicheNiveau : 6E · 5E

Le sens d’une fraction : quotient, fraction d’une quantité, pourcentages

Comprendre une fraction comme un quotient, calculer une fraction d’une quantité, passer d’une fraction simple à un décimal et appliquer un pourcentage simple.

L’essentiel

$\dfrac{a}{b}$ est le nombre quotient de $a$ par $b$ : c’est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . Ainsi $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$ .
C’est aussi le résultat exact de la division $a \div b$ : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$ .
Une fraction peut être un nombre entier ( $\dfrac{12}{4} = 3$ ), un nombre décimal ( $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ) ou un nombre qui n’est pas décimal ( $\dfrac{7}{3}$ : la division ne s’arrête jamais).

Les multiplications à trou

$3 \times \ldots = 7$ : le nombre qui manque est le quotient de $7$ par $3$ , c’est-à-dire $\dfrac{7}{3}$ . On vérifie : $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$ .

La fraction d’une quantité

Pour prendre les $\dfrac{2}{3}$ de $12$ :

On partage $12$ en $3$ parts égales : $12 \div 3 = 4$ .
On prend $2$ parts : $2 \times 4 = 8$ .

Donc $\dfrac{2}{3} \times 12 = \boxed{8}$ .

Fractions et décimaux à connaître

Fraction	Écriture décimale	Pour s’en souvenir
$\dfrac{1}{2}$	$0{,}5$	la moitié de $1$
$\dfrac{1}{4}$	$0{,}25$	la moitié de $0{,}5$
$\dfrac{3}{4}$	$0{,}75$	$3 \times 0{,}25$
$\dfrac{4}{2}$	$2$	$4 \div 2$
$\dfrac{3}{2}$	$1{,}5$	$1 + \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{5}{2}$	$2{,}5$	$2 + \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{9}{4}$	$2{,}25$	$2 + \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{5}$	$0{,}2$	$\dfrac{2}{10}$
$\dfrac{2}{5}$	$0{,}4$	$\dfrac{4}{10}$
$\dfrac{1}{10}$	$0{,}1$	un dixième
$\dfrac{7}{10}$	$0{,}7$	sept dixièmes

Les pourcentages simples

$p\,\%$ , c’est la fraction $\dfrac{p}{100}$ . Pour les plus courants, il y a un raccourci :

Pourcentage	On calcule	Exemple
$1\,\%$	on divise par $100$	$1\,\%$ de $300$ : $3$
$10\,\%$	on divise par $10$	$10\,\%$ de $60$ : $6$
$20\,\%$	deux fois $10\,\%$	$20\,\%$ de $40$ : $8$
$25\,\%$	le quart	$25\,\%$ de $48$ : $12$
$50\,\%$	la moitié	$50\,\%$ de $30$ : $15$
$75\,\%$	les trois quarts	$75\,\%$ de $40$ : $30$

Un même nombre, plusieurs écritures

Un nombre peut s’écrire de plusieurs façons, toutes égales :

1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{120}{100} = 120\,\%

0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 75\,\%

Pour passer de l’une à l’autre :

Du décimal à la fraction : on compte les chiffres après la virgule. Un chiffre donne des dixièmes, deux chiffres des centièmes : $1{,}2 = \dfrac{12}{10}$ , $0{,}75 = \dfrac{75}{100}$ . Puis on simplifie si on peut : $\dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}$ , $\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ .
De la fraction au décimal : on divise le numérateur par le dénominateur ( $3 \div 4 = 0{,}75$ ), ou on se ramène à un dénominateur $10$ ou $100$ : $\dfrac{6}{5} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2$ .
Vers un pourcentage : on écrit la fraction sur $100$ . $0{,}75 = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$ et $1{,}2 = \dfrac{120}{100} = 120\,\%$ . Autrement dit, on multiplie le décimal par $100$ .
Partie entière et fraction : $\dfrac{6}{5} = \dfrac{5}{5} + \dfrac{1}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}$ .

Erreurs à éviter :

$1{,}2$ n’est pas $\dfrac{1}{2}$ : la virgule n’est pas une barre de fraction. $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ .
$0{,}6 = \dfrac{60}{100} = 60\,\%$ , et non $6\,\%$ (qui vaut $0{,}06$ ).
On ne renverse pas la fraction : $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$ , alors que $\dfrac{4}{3}$ est plus grand que $1$ .

Reconnaître les écritures d’un même nombreS’entraîner

Exemples corrigés

Dans une classe de $24$ élèves, les $\dfrac{3}{4}$ mangent à la cantine : $24 \div 4 = 6$ , puis $3 \times 6 = \boxed{18}$ élèves.
$\dfrac{5}{2} = 5 \div 2 = \boxed{2{,}5}$ .
Une veste à $60$ € est soldée de $20\,\%$ : $10\,\%$ de $60$ , c’est $6$ , donc $20\,\%$ , c’est $12$ . La réduction est de $\boxed{12}$ €.
$75\,\%$ de $48$ : le quart de $48$ est $12$ , les trois quarts font $3 \times 12 = \boxed{36}$ .

Calculer une fraction d’une quantitéS’entraîner

Les pièges

$\dfrac{3}{4}$ ne s’écrit pas $3{,}4$ : c’est $3 \div 4 = 0{,}75$ .
$\dfrac{1}{5} = 0{,}2$ , et non $0{,}5$ .
$25\,\%$ , ce n’est pas diviser par $25$ : c’est prendre le quart.
Pour $3 \times \ldots = 7$ , la réponse exacte est $\dfrac{7}{3}$ . $2{,}33$ n’est qu’une valeur approchée : $3 \times 2{,}33 = 6{,}99$ .