Calcul littéral : substituer et réduire

Écrire une formule avec une lettre, calculer une expression pour une valeur de x, réduire ax + b + cx + d et tester une égalité.

L’essentiel

• Une lettre remplace un nombre qu’on ne connaît pas encore, ou qui peut changer. Le périmètre d’un carré de côté $c$ est $P = 4 \times c$, son aire est $A = c \times c$.
• Conventions d’écriture : on peut supprimer le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse.
  • $4 \times c$ s’écrit $4c$ ; $1 \times x$ s’écrit $x$.
  • $x \times x$ s’écrit $x^2$ (« $x$ au carré »).
  • Entre deux nombres, on garde le $\times$ : $3 \times 5$ ne s’écrit pas $35$ !

Traduire une phrase en expression

Pour un nombre entier $n$ :

Quand plusieurs mots s’enchaînent, on lit la phrase en partant de la fin : la dernière opération nommée porte sur $n$, et elle se calcule en premier.

• « Le triple du successeur de $n$ » : on prend d’abord le successeur, $n + 1$, puis son triple : $3(n + 1)$. Les parenthèses sont indispensables.
• « Le successeur du triple de $n$ » : on prend d’abord le triple, $3n$, puis son successeur : $3n + 1$.

Pour $n = 4$, la première donne $3 \times 5 = 15$, la seconde $12 + 1 = 13$ : ce ne sont pas les mêmes nombres.

De même :

• « le carré du prédécesseur de $n$ » s’écrit $(n - 1)^2$ ; pour $n = 5$, il vaut $4^2 = 16$ ;
• « le prédécesseur du carré de $n$ » s’écrit $n^2 - 1$ ; pour $n = 5$, il vaut $25 - 1 = 24$.

« La somme de $n$ et de son successeur » s’écrit $n + (n + 1)$, soit $2n + 1$ une fois réduite.

Traduire une phrase par une expressionS’entraîner

Calculer une expression pour une valeur de x

On remplace $x$ par le nombre donné : c’est la substitution. Le signe $\times$ caché réapparaît.

Pour $x = 2$, avec $A = 3x^2 - 5x + 4$ :

N’oublie pas les priorités : le carré d’abord, puis les multiplications.

Calculer la valeur d’une expressionS’entraîner

Réduire une expression

Réduire $ax + b + cx + d$, c’est l’écrire avec le moins de termes possible :

1. On regroupe les termes en $x$ entre eux.
2. On regroupe les nombres entre eux.

Réduire une expression littéraleS’entraîner

Tester une égalité

Pour savoir si une égalité est vraie pour une valeur de $x$, on calcule séparément chaque membre.

L’égalité $2x + 3 = 5x$ est-elle vraie pour toutes les valeurs de $x$ ?

• Pour $x = 1$ : $2 \times 1 + 3 = 5$ et $5 \times 1 = 5$. Elle est vraie.
• Pour $x = 2$ : $2 \times 2 + 3 = 7$ et $5 \times 2 = 10$. Elle est fausse.

Un seul contre-exemple ($x = 2$) suffit pour montrer que l’égalité n’est pas toujours vraie. En revanche, un exemple où elle marche ne prouve rien.

Les pièges