FicheNiveau : 6E → 3E

Lire le codage d’une figure : triangles, quadrilatères, médiatrice

Les marques de codage, les triangles et quadrilatères particuliers qu’elles permettent de reconnaître, et la médiatrice d’un segment avec sa propriété.

L’essentiel

Les marques de codage

Des petits traits en même nombre (un, deux, trois…) sur des segments : ces segments ont la même longueur.
Un petit carré dans un angle : c’est un angle droit.
Des arcs en même nombre dans des angles : ces angles sont égaux.
Des chevrons (petites flèches) en même nombre sur des côtés : ces côtés sont parallèles. Le parallélisme peut aussi être donné dans l’énoncé.

La règle d’or

On se fie au codage et aux données de l’énoncé, jamais à l’allure du dessin. Une figure qui « a l’air » d’un rectangle n’est pas un rectangle si rien ne code ses angles droits. Un dessin peut être faux, ou tracé à main levée : seules les informations écrites ou codées comptent.

Les triangles particuliers

Isocèle : deux côtés de même longueur. Le sommet commun à ces deux côtés est le sommet principal ; le côté opposé est la base. On dit « isocèle en $A$ » si $AB = AC$ .
Équilatéral : trois côtés de même longueur.
Rectangle : un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, c’est le plus long des trois. On dit « rectangle en $A$ » si l’angle droit est en $A$ .
Isocèle rectangle : deux côtés égaux et un angle droit, placé au sommet principal.

On donne toujours la nature la plus précise. Un triangle équilatéral est aussi isocèle (il a bien deux côtés égaux), mais on dit « équilatéral ».

Les quadrilatères particuliers

Parallélogramme : quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Rectangle : quadrilatère qui a quatre angles droits.
Losange : quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.
Carré : quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange : quatre angles droits et quatre côtés égaux.

Un carré est donc aussi un rectangle, un losange et un parallélogramme ; un rectangle et un losange sont aussi des parallélogrammes. Là encore, on donne la nature la plus précise.

Deux figures courantes ne sont pas des parallélogrammes en général :

le trapèze, qui a deux côtés parallèles (ses bases), alors que les deux autres ne le sont pas forcément ; un trapèze rectangle a en plus deux angles droits, ce qui ne suffit pas pour un rectangle ;
le cerf-volant, qui a deux paires de côtés consécutifs égaux ( $AB = AD$ et $CB = CD$ ), et non des côtés opposés égaux. Le mot n’est pas au programme, mais la figure revient souvent.

Reconnaître un quadrilatère

Ce que dit le codage ou l’énoncé	Nature
côtés opposés parallèles deux à deux	parallélogramme
quadrilatère non croisé, côtés opposés de même longueur deux à deux	parallélogramme
diagonales qui se coupent en leur milieu	parallélogramme
trois angles droits	rectangle
parallélogramme avec un angle droit	rectangle
parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur	rectangle
quatre côtés de même longueur	losange
parallélogramme avec deux côtés consécutifs égaux	losange
parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires	losange
losange avec un angle droit	carré
rectangle avec deux côtés consécutifs égaux	carré

Pourquoi trois angles droits suffisent : une diagonale découpe le quadrilatère en deux triangles, donc la somme de ses angles vaut $2 \times 180 = 360^\circ$ , et le quatrième mesure $360 - 3 \times 90 = 90^\circ$ .

La médiatrice d’un segment

La médiatrice du segment $[AB]$ est la droite perpendiculaire à $[AB]$ qui passe par son milieu. Sur une figure, on la reconnaît à son codage : un angle droit avec $[AB]$ et deux traits égaux sur les deux moitiés de $[AB]$ . Il faut les deux : un angle droit seul ne dit pas que la droite passe par le milieu.

Propriété. Tout point de la médiatrice de $[AB]$ est à égale distance de $A$ et de $B$ : si $M$ est sur la médiatrice, alors $MA = MB$ , et le triangle $MAB$ est isocèle en $M$ .

Réciproque. Tout point à égale distance de $A$ et de $B$ est sur la médiatrice de $[AB]$ : si $MA = MB$ , alors $M$ est sur la médiatrice.

La méthode

Relever tout le codage : traits, petits carrés, arcs, chevrons, et les données de l’énoncé.
Traduire chaque marque en phrase : « $AB = AC$ », « l’angle en $A$ est droit »…
Chercher dans la liste la propriété qui correspond, puis la nature la plus précise.
Conclure en citant le codage utilisé, sans jamais invoquer l’allure du dessin.

Exemples corrigés

Un quadrilatère. $ABCD$ a ses quatre côtés codés par un même trait, et un petit carré en $A$ . Quatre côtés égaux : c’est un losange. Un losange avec un angle droit est un carré. $ABCD$ est un carré.

Reconnaître un quadrilatère d’après son codageS’entraîner

Un triangle. Dans le triangle $EFG$ , les côtés $[EF]$ et $[EG]$ portent chacun deux traits, et un petit carré est codé en $E$ . Deux côtés égaux de sommet commun $E$ : le triangle est isocèle en $E$ . Il a aussi un angle droit en $E$ . $EFG$ est isocèle rectangle en $E$ , et son hypoténuse est $[FG]$ .

Reconnaître un triangle d’après son codageS’entraîner

Une médiatrice. $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$ et $MA = 5$ cm. Tout point de la médiatrice est à égale distance de $A$ et de $B$ , donc $MB = MA = \boxed{5 \text{ cm}}$ .

La réciproque. $AB = 6$ cm, $PA = 4$ cm et $PB = 4$ cm. Le point $P$ est à égale distance de $A$ et de $B$ : il est sur la médiatrice de $[AB]$ .

Utiliser la médiatrice d’un segmentS’entraîner

Les pièges

Se fier au dessin. Un angle qui « a l’air » droit sans petit carré n’est pas droit ; deux côtés qui « ont l’air » égaux sans codage ne le sont pas forcément.
Oublier une marque. Un trait sur deux côtés seulement ne dit rien des deux autres : on ne conclut que sur ce qui est codé.
Ne pas donner la nature la plus précise. Dire « parallélogramme » pour un carré n’est pas faux, mais ce n’est pas la réponse attendue.
Quatre angles égaux, ce n’est pas un carré. C’est un rectangle (chaque angle vaut $360 \div 4 = 90^\circ$ ). Pour un carré, il faut aussi des côtés égaux.
Confondre losange et cerf-volant. Dans un cerf-volant, seuls les côtés consécutifs sont égaux deux à deux ; dans un losange, les quatre côtés sont égaux.
Prendre une perpendiculaire pour la médiatrice. Sans les deux traits égaux sur le segment, la droite ne passe pas forcément par le milieu.