FicheNiveau : 6E → 3E

Angles et triangles

La somme des angles d’un triangle, les triangles isocèle et équilatéral, les angles alternes-internes et correspondants, les angles supplémentaires.

L’essentiel

Dans un triangle

La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$ .
Dans un triangle isocèle en $A$ , les deux angles à la base $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont égaux. L’angle $\widehat{A}$ est l’angle au sommet principal.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux : chacun mesure $180 \div 3 = 60^\circ$ .

Deux droites et une sécante

Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont coupées par une troisième droite, la sécante. Elle forme quatre angles avec $(d)$ et quatre angles avec $(d')$ .

Deux angles alternes-internes sont situés entre les droites $(d)$ et $(d')$ , de part et d’autre de la sécante : l’un est formé avec $(d)$ , l’autre avec $(d')$ .
Deux angles correspondants sont du même côté de la sécante, et dans la même position : l’un au-dessus de $(d)$ , l’autre au-dessus de $(d')$ , par exemple.

Propriété. Si les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles, deux angles alternes-internes sont égaux, et deux angles correspondants aussi.

Réciproque. Si deux angles alternes-internes (ou deux angles correspondants) sont égaux, alors les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.

Angles supplémentaires

Deux angles adjacents dont les côtés non communs forment une droite sont supplémentaires : leur somme vaut $180^\circ$ . Par exemple, au point où la sécante coupe $(d)$ , deux angles voisins, qui ont un côté commun, sont supplémentaires.

La méthode

Repérer la configuration : triangle (quelconque, isocèle, équilatéral) ou parallèles coupées par une sécante.
Citer la propriété utilisée.
Écrire le calcul avec $180^\circ$ si besoin.

Exemples corrigés

Triangle quelconque. Dans $ABC$ , $\widehat{A} = 50^\circ$ et $\widehat{B} = 70^\circ$ . La somme des angles vaut $180^\circ$ :

\widehat{C} = 180 - 50 - 70 = \boxed{60^\circ}

Isocèle, angle au sommet connu. $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{A} = 40^\circ$ . Les angles à la base sont égaux et se partagent ce qui reste :

\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180 - 40}{2} = \boxed{70^\circ}

Isocèle, angle à la base connu. $ABC$ est isocèle en $A$ avec $\widehat{B} = 35^\circ$ . Alors $\widehat{C} = 35^\circ$ aussi, et

\widehat{A} = 180 - 2 \times 35 = \boxed{110^\circ}

Parallèles. Deux droites parallèles sont coupées par une sécante, et un angle mesure $65^\circ$ . Son angle alterne-interne et son angle correspondant mesurent aussi $65^\circ$ . L’angle qui lui est adjacent, au même point d’intersection, mesure $180 - 65 = \boxed{115^\circ}$ : les deux angles sont supplémentaires.

Calculer un angleS’entraîner

Les pièges

Dans un triangle isocèle en $A$ , l’angle égal à $\widehat{B}$ , c’est $\widehat{C}$ , pas $\widehat{A}$ .
Avec l’angle au sommet, on retire d’abord de $180$ , puis on divise par $2$ : $\frac{180 - 40}{2}$ et non $180 - \frac{40}{2}$ .
Les angles alternes-internes ou correspondants ne sont égaux que si les droites sont parallèles.
Ne confonds pas : deux angles supplémentaires ont une somme de $180^\circ$ , deux angles complémentaires une somme de $90^\circ$ .