FicheNiveau : 4E · 3E

Agrandissement, réduction, échelles

L’effet d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport k sur les longueurs, les aires, les volumes et les angles, et l’échelle d’une carte.

L’essentiel

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport kk :

  • les longueurs sont multipliées par kk ;
  • les aires sont multipliées par k2k^2 ;
  • les volumes sont multipliés par k3k^3 ;
  • les angles ne changent pas (la forme est conservée).

Si k>1k > 1, c’est un agrandissement. Si 0<k<10 < k < 1, c’est une réduction.

Échelle d’une carte. Une carte à l’échelle 125 000\frac{1}{25\,000} est une réduction : 11 cm sur la carte représente 25 00025\,000 cm en réalité. Les distances sur la carte sont proportionnelles aux distances réelles.

La méthode

Agrandissement ou réduction

  1. Repérer le rapport kk et la grandeur donnée : longueur, aire ou volume.
  2. Multiplier par kk, k2k^2 ou k3k^3 selon le cas.

Échelle

  1. Multiplier la distance sur la carte par le dénominateur de l’échelle : on obtient la distance réelle dans la même unité (souvent en cm).
  2. Convertir : 11 m =100= 100 cm et 11 km =1 000= 1\,000 m, donc 11 km =100 000= 100\,000 cm.

Exemples corrigés

Une longueur. Une figure est agrandie de rapport 33. Un côté de 55 cm devient 5×3=15 cm5 \times 3 = \boxed{15 \text{ cm}}.

Une aire. Avec ce même rapport 33, une aire de 88 cm² devient 8×32=8×9=72 cm28 \times 3^2 = 8 \times 9 = \boxed{72 \text{ cm}^2}.

Un volume. Un solide est agrandi de rapport 22. Un volume de 1010 cm³ devient 10×23=10×8=80 cm310 \times 2^3 = 10 \times 8 = \boxed{80 \text{ cm}^3}.

Une réduction. Une figure est réduite de rapport 0,50{,}5. Une aire de 3636 cm² devient 36×0,52=36×0,25=9 cm236 \times 0{,}5^2 = 36 \times 0{,}25 = \boxed{9 \text{ cm}^2}.

Agrandissement, réduction : longueurs, aires, volumesS’entraîner

Une carte. Sur une carte au 125 000\frac{1}{25\,000}, deux villages sont à 44 cm l’un de l’autre :

4×25 000=100 000 cm=1 000 m=1 km4 \times 25\,000 = 100\,000 \text{ cm} = 1\,000 \text{ m} = \boxed{1 \text{ km}}

Sur une carte au 150 000\frac{1}{50\,000}, 66 cm représentent 6×50 000=300 0006 \times 50\,000 = 300\,000 cm, soit 3 0003\,000 m ou 3 km\boxed{3 \text{ km}}.

Utiliser l’échelle d’une carteS’entraîner

Les pièges

  • Quand les longueurs doublent, l’aire ne double pas : elle est multipliée par 22=42^2 = 4. Le volume, lui, est multiplié par 23=82^3 = 8.
  • Les angles ne sont pas multipliés par kk : un angle droit reste un angle droit.
  • Pour une échelle, attention aux conversions : de cm en m on divise par 100100, de m en km on divise par 1 0001\,000.