Guide · 3e

Les formules de maths à connaître pour le brevet

Toutes les formules du collège pour le brevet de maths : calculs, fractions, puissances, aires, volumes, Pythagore, Thalès, trigonométrie, statistiques et fonctions.

Vérifié le 8 octobre 20262 textes officiels9 min de lecture

Le programme du cycle 4 demande d’avoir mémorisé et automatisé les formules de longueurs, d’aires et de volumes, les conversions d’unités et les règles de calcul, et d’avoir en tête les configurations de Pythagore et de Thalès. Ce formulaire les rassemble, thème par thème. Les lettres désignent des nombres ; les dénominateurs et les diviseurs sont toujours supposés non nuls.

Nombres et calculs : fractions, puissances, pourcentages

Priorités opératoires

Dans l’ordre : les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À priorité égale, on calcule de gauche à droite.

Exemples : $7 + 3 \times 5 = 22$ ; $-4^2 = -16$ mais $(-4)^2 = 16$ .

Fractions

Opération	Formule	Exemple
Simplifier	$\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}$	$\dfrac{12}{18} = \dfrac{2 \times 6}{3 \times 6} = \dfrac{2}{3}$
Ajouter (même dénominateur)	$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}$	$\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$
Ajouter (dénominateurs différents)	réduire d’abord au même dénominateur	$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$
Multiplier	$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$	$\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$
Diviser	$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$	$\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} \times 2 = \dfrac{3}{2}$
Égalité (produits en croix)	$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ équivaut à $a \times d = b \times c$	$\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$ car $3 \times 12 = 4 \times 9$

Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier : le tiers de $18$ est $\dfrac{1}{3} \times 18 = 6$ .

Écritures décimales à connaître : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ ; $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ ; $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ ; $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ ; $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ ; $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ .

Puissances

Pour un entier $n \geq 1$ , $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ facteurs), et pour $a \neq 0$ : $a^0 = 1$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Règle	Formule	Exemple
Produit, même base	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^3 \times 2^4 = 2^7$
Quotient, même base	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{10^5}{10^2} = 10^3$
Puissance d’une puissance	$(a^m)^n = a^{m \times n}$	$(3^2)^3 = 3^6$
Puissances de 10	$10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n \text{ zéros}}$ , $10^{-n} = 0{,}\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$	$10^3 = 1\,000$ ; $10^{-2} = 0{,}01$

Pour les produits et les quotients de puissances de même base, le programme demande d’appliquer la définition plutôt qu’une formule : $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2)$ , soit $7$ facteurs $2$ .

Notation scientifique : $a \times 10^n$ , avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif. Par exemple $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ et $0{,}003\,2 = 3{,}2 \times 10^{-3}$ .

Racine carrée et carrés parfaits

Pour $a \geq 0$ , $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ . L’équation $x^2 = a$ a deux solutions $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ si $a > 0$ , une seule ( $0$ ) si $a = 0$ , aucune si $a < 0$ .

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$
$n^2$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$

La liste d’automatismes du brevet demande les carrés jusqu’à $12^2$ ; les trois suivants servent souvent avec Pythagore.

Pourcentages et proportionnalité

Situation	Formule	Exemple
Prendre $p\,\%$ de $x$	$\dfrac{p}{100} \times x$	$30\,\%$ de $60$ : $0{,}3 \times 60 = 18$
Augmenter de $p\,\%$	multiplier par $1 + \dfrac{p}{100}$	$+20\,\%$ : $\times 1{,}2$
Diminuer de $p\,\%$	multiplier par $1 - \dfrac{p}{100}$	$-15\,\%$ : $\times 0{,}85$
Quatrième proportionnelle	si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$ , alors $x = \dfrac{b \times c}{a}$	$\dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{x}$ donne $x = \dfrac{12 \times 5}{3} = 20$
Ratio $2 : 3$	$a$ et $b$ sont dans le ratio $2 : 3$ si $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3}$	partager $60$ : $5$ parts de $12$ , soit $24$ et $36$

Une baisse de $20\,\%$ suivie d’une hausse de $20\,\%$ ne ramène pas au prix de départ : $0{,}8 \times 1{,}2 = 0{,}96$ , soit une baisse de $4\,\%$ .

Calcul littéral : développer, factoriser, résoudre

Règle	Formule
Distributivité simple	$k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$
Distributivité double	$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Différence de deux carrés	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Le programme du cycle 4 demande de mémoriser la distributivité simple et double et l’identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ . Les carrés $(a + b)^2$ et $(a - b)^2$ se retrouvent par double distributivité :

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

De même, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Piège classique : $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ (avec $a = 1$ et $b = 2$ : $9 \neq 5$ ).

Factoriser, c’est faire le chemin inverse : $6x + 9 = 3(2x + 3)$ ; $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ .

Résoudre une équation du premier degré : on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres, on les multiplie ou divise par le même nombre non nul.

Équation	Solution
$x + b = c$	$x = c - b$
$ax = c$ , avec $a \neq 0$	$x = \dfrac{c}{a}$
$ax + b = c$ , avec $a \neq 0$	$x = \dfrac{c - b}{a}$

Exemple : $3x + 5 = 20$ , donc $3x = 15$ et $x = 5$ .

Équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi $(x - 2)(x + 7) = 0$ équivaut à $x = 2$ ou $x = -7$ .

Géométrie : aires, volumes, Pythagore, Thalès, trigonométrie

Périmètres et aires

Figure	Périmètre	Aire
Carré de côté $c$	$4c$	$c^2$
Rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$	$2(L + \ell)$	$L \times \ell$
Triangle de base $b$ et hauteur $h$	somme des trois côtés	$\dfrac{b \times h}{2}$
Parallélogramme de base $b$ et hauteur $h$	somme des quatre côtés	$b \times h$
Disque de rayon $r$ (diamètre $d = 2r$ )	$2\pi r = \pi d$	$\pi r^2$

La hauteur d’un triangle ou d’un parallélogramme est perpendiculaire à la base choisie.

Volumes

Solide	Volume
Cube d’arête $c$	$c^3$
Pavé droit de dimensions $L$ , $\ell$ , $h$	$L \times \ell \times h$
Prisme droit (aire de base $\mathcal{B}$ , hauteur $h$ )	$\mathcal{B} \times h$
Cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$	$\pi r^2 h$
Pyramide (aire de base $\mathcal{B}$ , hauteur $h$ )	$\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$
Cône de rayon $r$ et de hauteur $h$	$\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
Boule de rayon $r$	$\dfrac{4}{3} \pi r^3$

Pour s’en souvenir : prisme et cylindre, c’est « base × hauteur » ; pyramide et cône, c’est le tiers de ce volume.

Conversions

Grandeur	Règle	Exemples
Longueurs	chaque unité vaut $10$ fois la précédente (mm, cm, dm, m, dam, hm, km)	$1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ ; $1\ \text{km} = 1\,000\ \text{m}$
Aires	chaque unité vaut $100$ fois la précédente ( $\text{mm}^2$ , $\text{cm}^2$ , $\text{dm}^2$ , $\text{m}^2$ …)	$1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$
Volumes	chaque unité vaut $1\,000$ fois la précédente ( $\text{mm}^3$ , $\text{cm}^3$ , $\text{dm}^3$ , $\text{m}^3$ …)	$1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3$ ; $1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$
Contenances	$1\ \text{L} = 10\ \text{dL} = 100\ \text{cL} = 1\,000\ \text{mL}$	$1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$ ; $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$ ; $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{L}$
Masses	$1\ \text{kg} = 1\,000\ \text{g}$	$250\ \text{g} = 0{,}25\ \text{kg}$
Durées	$1\ \text{h} = 60\ \text{min}$ ; $1\ \text{min} = 60\ \text{s}$ ; $1\ \text{jour} = 24\ \text{h}$	$1\ \text{h} = 3\,600\ \text{s}$ ; $0{,}25\ \text{h} = 15\ \text{min}$

Angles

La somme des angles d’un triangle vaut $180^\circ$ . Un angle droit mesure $90^\circ$ , un angle plat $180^\circ$ .
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Deux droites coupées par une sécante sont parallèles si et seulement si deux angles alternes-internes (ou correspondants) ont la même mesure.

Théorème de Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , l’hypoténuse est $[BC]$ , le côté opposé à l’angle droit :

BC^2 = AB^2 + AC^2

Réciproque : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .
Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ (avec $[BC]$ le plus grand côté), le triangle n’est pas rectangle.
Triplets à connaître : $(3, 4, 5)$ , $(6, 8, 10)$ , $(5, 12, 13)$ .

Théorème de Thalès et sa réciproque

Les droites $(BM)$ et $(CN)$ sont sécantes en $A$ (points $A$ , $M$ , $B$ alignés et $A$ , $N$ , $C$ alignés). Si $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

Cela vaut dans la configuration des triangles emboîtés comme dans celle du papillon.

Réciproque : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ et si les points $A$ , $M$ , $B$ et $A$ , $N$ , $C$ sont alignés dans le même ordre, alors $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$ :

Rapport	Formule	Moyen mnémotechnique
Cosinus	$\cos \widehat{A} = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$	CAH
Sinus	$\sin \widehat{A} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$	SOH
Tangente	$\tan \widehat{A} = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$	TOA

Le tout se retient avec « SOH-CAH-TOA ». Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre $0$ et $1$ .

Agrandissement et réduction

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ :

Grandeur	Effet
Longueurs	multipliées par $k$
Angles	inchangés
Aires	multipliées par $k^2$
Volumes	multipliés par $k^3$

Exemple : une maquette à l’échelle $\dfrac{1}{10}$ ( $k = 0{,}1$ ) a un volume $1\,000$ fois plus petit que l’objet réel.

Grandeurs composées : vitesse, distance, durée

Pour une vitesse moyenne $v$ , une distance $d$ et une durée $t$ :

v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v}

Les unités doivent concorder : une distance en $\text{km}$ et une durée en $\text{h}$ donnent une vitesse en $\text{km/h}$ .
$1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}$ (car $1\ \text{m/s} = 3\,600\ \text{m/h}$ ).
Exemple : $150\ \text{km}$ en $2\ \text{h}\ 30\ \text{min}$ , soit $2{,}5\ \text{h}$ , donnent $v = \dfrac{150}{2{,}5} = 60\ \text{km/h}$ .

D’autres grandeurs quotients suivent le même principe, comme un débit en $\text{L/min}$ (volume divisé par durée) ou une masse volumique en $\text{g/cm}^3$ (masse divisée par volume). Une grandeur produit, comme l’énergie en $\text{kWh}$ , se calcule en multipliant : puissance × durée.

Statistiques et probabilités

Statistiques

Indicateur	Définition
Moyenne	$\dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$
Moyenne pondérée	$\dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p}$ , où $n_i$ est l’effectif (ou le coefficient) de la valeur $x_i$
Médiane	valeur qui partage la série rangée dans l’ordre croissant en deux groupes de même effectif
Étendue	plus grande valeur − plus petite valeur
Fréquence	$\dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}$ , entre $0$ et $1$ (ou en pourcentage)

Pour la médiane d’une série de $N$ valeurs rangées : si $N$ est impair, c’est la valeur de rang $\dfrac{N + 1}{2}$ ; si $N$ est pair, on prend en général la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$ .

Exemple : pour $3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 14$ , la moyenne vaut $\dfrac{40}{5} = 8$ , la médiane $8$ (rang $3$ ) et l’étendue $14 - 3 = 11$ .

Probabilités

Une probabilité est comprise entre $0$ (événement impossible) et $1$ (événement certain).
En situation d’équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre d’issues possibles}}$ .
Événement contraire : $P(\text{non } A) = 1 - P(A)$ .
La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .

Exemple : avec un dé équilibré à six faces, $P(\text{« obtenir un multiple de } 3\text{ »}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ , et la probabilité de ne pas en obtenir un vaut $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ .

Fonctions : image, antécédent, linéaire et affine

Si $f(3) = 7$ : $7$ est l’image de $3$ par $f$ , et $3$ est un antécédent de $7$ . Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
Graphiquement, l’image se lit sur l’axe des ordonnées, l’antécédent sur l’axe des abscisses.

Fonction	Expression	Représentation graphique
Linéaire	$f(x) = ax$	droite passant par l’origine ; elle traduit une situation de proportionnalité
Affine	$f(x) = ax + b$	droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $(0 ; b)$

$a$ est le coefficient directeur : quand $x$ augmente de $1$ , $f(x)$ augmente de $a$ . Pour deux nombres $x_1 \neq x_2$ : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
$b$ est l’ordonnée à l’origine : $b = f(0)$ .
Une fonction linéaire est une fonction affine avec $b = 0$ .

Exemple : si $f(1) = 5$ et $f(4) = 11$ , alors $a = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = 2$ , et $b = f(1) - a \times 1 = 3$ : $f(x) = 2x + 3$ .

Ce que le sujet rappelle

Certains sujets rappellent une formule dans l’énoncé, le plus souvent un volume (cylindre, cône, boule). Il ne faut pas compter dessus : rien ne garantit qu’elle sera donnée, et le programme demande de connaître ces formules. C’est surtout vrai pour les 20 minutes d’automatismes, sans calculatrice : il n’y a alors pas le temps de chercher une formule, il faut l’appliquer directement.

Les retenir pour de bon

Lire un formulaire ne suffit pas : une formule se retient en l’utilisant. Chaque thème a sa fiche de cours, avec une méthode, des exemples corrigés et les pièges à éviter. L’exerciseur propose ensuite des séries de dix questions corrigées pas à pas, notion par notion ou mélangées, pour que ces formules deviennent des réflexes avant le brevet.

Fiches de coursL’essentiel, la méthode et les pièges de chaque notionVoir les fiches →

Séries d’automatismes10 questions corrigées pas à pasS’entraîner

Sources officielles

2 textes · vérifiés le 8 octobre 2026