Brevet · session 2025 · Centres étrangers (groupe 1), série générale

Brevet 2025 de maths (centres étrangers, groupe 1) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2025, centres étrangers du groupe 1 (25GENMATG11) : QCM, colis et masse volumique, programme de calcul, Thalès, digicode et Scratch.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2025). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de 5 exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : QCM (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

La décomposition en produit de facteurs premiers de $120$ est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$2 \times 3 \times 4 \times 5$	$15 \times 2 \times 2 \times 2$	$2^3 \times 3 \times 5$	$53 + 67$

Corrigé

On divise par les nombres premiers dans l’ordre : $120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ , soit $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ .

Réponse C. Les réponses A et B donnent bien $120$ , mais contiennent $4$ et $15$ , qui ne sont pas premiers ; la D est une somme, pas un produit.

Question 2

Dans la cellule A2, la formule « $= -4 * A1 - 12$ » a été saisie. On l’étire jusqu’à la cellule B2.

	A	B
1	$2$	$5$
2	$-20$

La valeur obtenue dans la cellule B2 est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$-32$	$-20$	$8$	$68$

Corrigé

En étirant vers la droite, la formule devient « $= -4 * B1 - 12$ ». Avec $B1 = 5$ : $-4 \times 5 - 12 = -20 - 12 = -32$ .

Réponse A. (On vérifie la formule sur A2 : $-4 \times 2 - 12 = -20$ .)

Question 3

Sur la figure ci-dessous, le rapport de l’homothétie de centre $O$ qui transforme le carré A en le carré B est :

Quadrillage avec le point O à gauche ; à sa droite, un petit carré A posé sur la pointe, de diagonale 2 carreaux, puis un grand carré B posé sur la pointe, de diagonale 4 carreaux, les deux carrés se touchant par un sommet

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$-2$	$-0{,}5$	$0{,}5$	$2$

Corrigé

Les carrés A et B sont du même côté de $O$ : le rapport est positif. Le sommet gauche du carré A est à $2$ carreaux de $O$ , son image (le sommet gauche du carré B) est à $4$ carreaux : les distances à $O$ sont multipliées par $2$ . On le voit aussi sur les diagonales : $2$ carreaux pour A, $4$ pour B.

Réponse D : le rapport est $2$ .

Question 4

Une écriture factorisée de $4x^2 - 1$ est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$(2x - 1)(2x + 1)$	$(4x - 1)(4x + 1)$	$4(x - 1)(x + 1)$	$(2x - 1)^2$

Corrigé

$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2$ est de la forme $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , avec $a = 2x$ et $b = 1$ :

4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)

Réponse A. On vérifie en développant : $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 + 2x - 2x - 1 = 4x^2 - 1$ .

Question 5

Dans le triangle $TER$ ci-dessous, la mesure de la longueur $RE$ arrondie au centième de cm est :

Triangle TER rectangle en R, avec TE = 7,4 cm et un angle de 39° en E

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$4{,}66$ cm	$5{,}75$ cm	$9{,}52$ cm	$11{,}76$ cm

Corrigé

Le triangle $TER$ est rectangle en $R$ : l’hypoténuse est $[TE]$ , et pour l’angle $\widehat{TER}$ , le côté adjacent est $[RE]$ .

\cos(\widehat{TER}) = \dfrac{RE}{TE} \quad\text{donc}\quad RE = 7{,}4 \times \cos(39°) \approx 5{,}75 \text{ cm}

Réponse B. La réponse A ( $7{,}4 \times \sin(39°) \approx 4{,}66$ ) donne le côté opposé $TR$ ; les réponses C et D dépassent l’hypoténuse, ce qui est impossible.

Exercice 2 : statistiques et masse volumique (19 points)

L’entreprise « Transport Rapide » doit livrer cinq colis nommés A, B, C, D et E ayant des masses différentes précisées dans le tableau ci-dessous :

Nom du colis	A	B	C	D	E
Masse en kg	$4$	$9$	$2$	$7$	$11$

1. Calculer la moyenne des masses des colis en kg.

Corrigé

\dfrac{4 + 9 + 2 + 7 + 11}{5} = \dfrac{33}{5} = 6{,}6

La masse moyenne des colis est de $6{,}6$ kg.

2. Déterminer la médiane des masses des colis en kg. Interpréter ce résultat.

Corrigé

On range les masses dans l’ordre croissant : $2 \;;\; 4 \;;\; 7 \;;\; 9 \;;\; 11$ . Il y a $5$ valeurs, la médiane est la $3^{\text{e}}$ : $7$ kg.

Interprétation : au moins la moitié des colis pèsent $7$ kg ou moins, et au moins la moitié pèsent $7$ kg ou plus.

3. Le transporteur choisit au hasard un colis parmi les cinq (A, B, C, D ou E) pour une livraison express. Calculer la probabilité pour qu’il sélectionne un colis dont la masse est inférieure à $8$ kg.

Corrigé

Les cinq colis ont la même chance d’être choisis. Trois colis pèsent moins de $8$ kg : A ( $4$ kg), C ( $2$ kg) et D ( $7$ kg).

P = \dfrac{3}{5} = 0{,}6

Les colis ont la forme d’un pavé droit de longueur $L$ , de largeur $\ell$ et de hauteur $h$ , représenté ci-dessous.

Pavé droit aplati en perspective cavalière, avec sa longueur L, sa largeur ℓ et sa hauteur h fléchées

Voici les dimensions des cinq colis.

Colis	Longueur $L$ en mètre	Largeur $\ell$ en mètre	Hauteur $h$ en mètre
A	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}5$
B	$0{,}5$	$0{,}4$	$0{,}8$
C	$0{,}3$	$0{,}1$	$0{,}5$
D	$0{,}4$	$0{,}3$	$0{,}7$
E	$0{,}5$	$0{,}4$	$0{,}6$

4. a. Vérifier que le volume du colis E est de $0{,}12 \text{ m}^3$ .

Corrigé

Le volume d’un pavé droit est $L \times \ell \times h$ :

V_E = 0{,}5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}12 \text{ m}^3

4. b. L’entreprise souhaite calculer la masse volumique d’un colis dont la formule est rappelée ci-dessous. Montrer que la masse volumique du colis E arrondie au dixième est $91{,}7 \text{ kg/m}^3$ .

On rappelle que la formule qui permet de calculer la masse volumique d’un objet en $\text{kg/m}^3$ est : $\dfrac{\text{masse (en kg)}}{\text{volume (en m}^3\text{)}}$

Corrigé

Le colis E pèse $11$ kg et son volume est $0{,}12 \text{ m}^3$ :

\dfrac{11}{0{,}12} \approx 91{,}666\ldots \approx 91{,}7 \text{ kg/m}^3

4. c. Le transporteur affirme « Le colis E est plus lourd que le colis C, donc la masse volumique du colis E est plus grande que celle du colis C. » A-t-il raison ?

Corrigé

Volume du colis C : $0{,}3 \times 0{,}1 \times 0{,}5 = 0{,}015 \text{ m}^3$ . Il pèse $2$ kg, donc sa masse volumique est :

\dfrac{2}{0{,}015} \approx 133{,}3 \text{ kg/m}^3

$133{,}3 > 91{,}7$ : la masse volumique du colis C est plus grande que celle du colis E, alors que C est plus léger. Le transporteur a tort : la masse volumique dépend aussi du volume, pas seulement de la masse.

Exercice 3 : programme de calcul et fonction (21 points)

On considère le programme de calcul suivant.

Choisir un nombre

Multiplier le nombre choisi par $-2$

Ajouter $4$ au résultat

Multiplier le résultat obtenu par $4$

1. Montrer que si l’on choisit $1$ comme nombre de départ dans le programme, le résultat obtenu est $8$ .

Corrigé

$1 \times (-2) = -2$ , puis $-2 + 4 = 2$ , puis $2 \times 4 = 8$ . On obtient bien $8$ .

2. Quel est le résultat si le nombre de départ est $-2$ ?

Corrigé

$-2 \times (-2) = 4$ , puis $4 + 4 = 8$ , puis $8 \times 4 = 32$ . Le résultat est $32$ .

3. Si l’on note $x$ le nombre de départ, montrer que le résultat peut s’écrire $-8x + 16$ .

Corrigé

Les étapes donnent $-2x$ , puis $-2x + 4$ , puis $(-2x + 4) \times 4$ . On développe :

(-2x + 4) \times 4 = -2x \times 4 + 4 \times 4 = -8x + 16

4. a. Résoudre l’équation $-8x + 16 = 4$ .

Corrigé

-8x + 16 = 4 \iff -8x = 4 - 16 \iff -8x = -12 \iff x = \dfrac{-12}{-8} = 1{,}5

La solution est $1{,}5$ .

4. b. En déduire le nombre de départ qu’il faut choisir pour obtenir $4$ comme résultat.

Corrigé

D’après la question 3, le résultat est $-8x + 16$ ; il vaut $4$ quand $x = 1{,}5$ . Il faut choisir $1{,}5$ . Vérification : $1{,}5 \times (-2) = -3$ , $-3 + 4 = 1$ , $1 \times 4 = 4$ .

5. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, quelle est celle qui représente la fonction $f$ définie par $f(x) = -8x + 16$ ? Expliquer la démarche.

Trois droites. Représentation 1 : droite montante, qui coupe l’axe des abscisses en −2 et l’axe des ordonnées en 16. Représentation 2 : droite descendante, qui coupe l’axe des ordonnées en 8 et l’axe des abscisses en 1. Représentation 3 : droite descendante, qui coupe l’axe des ordonnées en 16 et l’axe des abscisses en 2

Corrigé

$f$ est une fonction affine de coefficient $-8$ , négatif : sa droite descend. On écarte la représentation 1, qui monte.

$f(0) = -8 \times 0 + 16 = 16$ : la droite passe par le point $(0 \,;\, 16)$ . On écarte la représentation 2, qui coupe l’axe des ordonnées en $8$ .

C’est la représentation graphique 3. On peut le confirmer : $f(2) = -16 + 16 = 0$ , et cette droite passe bien par $(2 \,;\, 0)$ .

Exercice 4 : Pythagore, Thalès et mélange de graines (21 points)

Un agriculteur souhaite cultiver un champ représenté par le triangle $ABC$ ci-dessous. Sur la figure qui n’est pas à l’échelle, on a les informations suivantes :

le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ ;
les points $C$ , $E$ et $A$ sont alignés ;
les points $C$ , $D$ et $B$ sont alignés ;
$AB = 600$ m ; $BC = 450$ m ; $CD = 270$ m.

Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 600 m horizontal et BC = 450 m vertical ; le point D est sur [BC] à 270 m de C, le point E sur [AC], et le segment [ED] est codé perpendiculaire à (BC) en D

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : étude géométrique du terrain

1. Montrer que le segment $[AC]$ mesure $750$ mètres.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , donc d’après le théorème de Pythagore :

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 600^2 + 450^2 = 360\,000 + 202\,500 = 562\,500

donc $AC = \sqrt{562\,500} = 750$ m.

2. a. Montrer que les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.

Corrigé

D’après le codage de la figure, $(ED)$ est perpendiculaire à $(BC)$ en $D$ . Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , donc $(AB)$ est perpendiculaire à $(BC)$ . Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles : $(ED) \parallel (AB)$ .

2. b. Montrer que le segment $[DE]$ mesure $360$ mètres.

Corrigé

Les points $C, D, B$ et $C, E, A$ sont alignés, et $(ED) \parallel (AB)$ . D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CE}{CA} = \dfrac{DE}{BA} \quad\text{soit}\quad \dfrac{270}{450} = \dfrac{CE}{750} = \dfrac{DE}{600}

DE = \dfrac{270 \times 600}{450} = \dfrac{162\,000}{450} = 360 \text{ m}

3. Montrer que l’aire du triangle $CDE$ est $48\,600 \text{ m}^2$ .

Corrigé

Le triangle $CDE$ est rectangle en $D$ , ses côtés de l’angle droit sont $[CD]$ et $[DE]$ :

\mathcal{A} = \dfrac{CD \times DE}{2} = \dfrac{270 \times 360}{2} = \dfrac{97\,200}{2} = 48\,600 \text{ m}^2

Partie B : étude du prix du mélange de graines

L’agriculteur souhaite semer un mélange de graines (blé, seigle et pois) en respectant les indications suivantes.

Indication 1 : prix au kilo pour chaque type de graine	Indication 2 : répartition du type de graines pour une surface de $10\,000 \text{ m}^2$
Blé : $1{,}40$ €/kg	Blé : $80$ kg
Seigle : $1{,}30$ €/kg	Seigle : $60$ kg
Pois : $2{,}10$ €/kg	Pois : $50$ kg

1. Un vendeur lui propose des sacs contenant un mélange de blé, seigle, et pois selon le ratio $16 : 12 : 8$ . Montrer que la composition de ce sac ne respecte pas l’indication 2.

Corrigé

L’indication 2 correspond au ratio $80 : 60 : 50$ . Pour que les deux ratios soient égaux, il faudrait passer de l’un à l’autre en multipliant chaque nombre par le même coefficient. Or :

\dfrac{80}{16} = 5 \qquad \dfrac{60}{12} = 5 \qquad \dfrac{50}{8} = 6{,}25

Le coefficient n’est pas le même pour les pois ( $6{,}25 \neq 5$ ). Avec le coefficient $5$ , le sac correspondrait à $80$ kg de blé, $60$ kg de seigle mais seulement $40$ kg de pois au lieu de $50$ kg : la composition du sac ne respecte pas l’indication 2.

2. L’agriculteur souhaite semer le mélange de graines sur la partie du champ représentée par le triangle $CDE$ dont l’aire mesure $48\,600 \text{ m}^2$ . Il a calculé qu’il doit prévoir $388{,}80$ kg de blé pour respecter la répartition indiquée dans l’énoncé. Justifier le calcul de l’agriculteur.

Corrigé

La quantité de blé est proportionnelle à la surface. La surface à semer vaut :

\dfrac{48\,600}{10\,000} = 4{,}86 \text{ fois } 10\,000 \text{ m}^2

Il faut donc $80 \times 4{,}86 = 388{,}8$ kg de blé : le calcul de l’agriculteur est juste.

3. L’agriculteur dispose d’un budget de $1\,500$ € pour semer le mélange de graines sur la totalité des $48\,600 \text{ m}^2$ de terrain. Il a calculé qu’il doit acheter $388{,}80$ kg de blé, $291{,}6$ kg de seigle et $243$ kg de pois pour respecter la répartition indiquée dans l’énoncé. L’agriculteur dispose-t-il d’un budget suffisant ?

Corrigé

On calcule le prix de chaque graine avec l’indication 1 :

blé : $388{,}8 \times 1{,}40 = 544{,}32$ € ;
seigle : $291{,}6 \times 1{,}30 = 379{,}08$ € ;
pois : $243 \times 2{,}10 = 510{,}30$ €.

Total : $544{,}32 + 379{,}08 + 510{,}30 = 1\,433{,}70$ €.

$1\,433{,}70 < 1\,500$ : oui, son budget est suffisant (il lui reste $66{,}30$ €).

Exercice 5 : probabilités et Scratch (19 points)

Un digicode commande l’ouverture de la porte d’entrée de la maison de la grand-mère de Léna. Léna a oublié le code. Elle sait qu’il est composé d’une lettre A, B, ou C, suivie d’un chiffre compris entre $0$ et $9$ .

1. Proposer deux codes différents que Léna peut tester.

Corrigé

Par exemple A3 et C8 (une lettre parmi A, B, C suivie d’un chiffre de $0$ à $9$ ).

2. Quelle est la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi la lettre C dans son code ?

Corrigé

On suppose que tous les codes ont la même chance d’avoir été choisis. Il y a $3$ lettres possibles, dont une seule est C :

P(\text{C}) = \dfrac{1}{3}

3. Montrer que la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi le chiffre $7$ dans son code est $\dfrac{1}{10}$ .

Corrigé

Il y a $10$ chiffres possibles ( $0, 1, 2, \ldots, 9$ ), et un seul est le $7$ . La probabilité est $\dfrac{1}{10}$ .

On peut aussi compter les codes : il y en a $3 \times 10 = 30$ en tout, dont $3$ contiennent le chiffre $7$ (A7, B7, C7), et $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$ .

4. Léna se souvient que sa grand-mère, enseignante de mathématiques à la retraite, aime bien les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le code choisi par sa grand-mère comporte un nombre premier ?

Corrigé

Parmi les chiffres de $0$ à $9$ , les nombres premiers sont $2$ , $3$ , $5$ et $7$ ( $0$ et $1$ ne sont pas premiers, $4$ , $6$ , $8$ et $9$ ont d’autres diviseurs que $1$ et eux-mêmes). Il y a donc $4$ chiffres premiers sur $10$ :

P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}

5. a. Léna décide de tester tous les codes possibles. Elle estime qu’il lui faut $5$ secondes pour essayer un code. Réussira-t-elle à ouvrir la porte de la maison en moins de $3$ minutes ?

Corrigé

Il y a $3 \times 10 = 30$ codes possibles. Pour tous les essayer, il lui faut au plus $30 \times 5 = 150$ secondes, soit $2$ min $30$ s.

$2$ min $30$ s $< 3$ min : oui, elle est sûre d’ouvrir la porte en moins de $3$ minutes.

5. b. Le format de ce code garantit-il la sécurité de la maison ? Comment pourrait-on améliorer ce système de code ?

Corrigé

Non : avec seulement $30$ codes possibles, n’importe qui peut les essayer tous en quelques minutes.

Pour l’améliorer, on peut allonger le code (par exemple une lettre suivie de quatre chiffres : $3 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 30\,000$ codes), autoriser plus de lettres, ou bloquer le digicode après plusieurs erreurs.

6. Chaque fois qu’un utilisateur saisit un code, un programme lui annonce si le code est correct ou faux. Le programme utilisé est noté ci-dessous.

quand le drapeau est cliqué
demander [Saisir une lettre parmi A, B et C] et attendre
mettre [lettre saisie] à (réponse)
demander [Saisir un chiffre entre 0 et 9] et attendre
mettre [chiffre saisi] à (réponse)
si < <(lettre saisie) = [B]> et <(chiffre saisi) = [7]> > alors
  dire [Code correct] pendant (2) secondes
sinon
  dire [Code faux] pendant (2) secondes

6. a. Léna saisit le code B5. Qu’affiche le programme ?

Corrigé

La lettre saisie est bien B, mais le chiffre saisi est $5$ et non $7$ . La condition « … et … » demande que les deux égalités soient vraies : elle est fausse. Le programme exécute le « sinon » et affiche « Code faux » pendant $2$ secondes.

6. b. D’après ce programme, quel est le code qui permet d’entrer dans l’immeuble de la grand-mère de Léna ?

Corrigé

Le programme affiche « Code correct » seulement si la lettre est B et le chiffre est $7$ : le code est B7.

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