Brevet · session 2025 · Centres en Asie, série générale

Brevet 2025 de maths (centres en Asie) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2025, centres en Asie (25GENMATAA1) : QCM, Pythagore et Thalès, périmètres et tableur, Scratch et hexagones, PGCD et aquariums.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2025). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, même si la réponse est incomplète, laisser une trace de la recherche ; elle pourra être prise en compte dans l’attribution des points.

Exercice 1 : QCM (16 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, quatre propositions (A, B, C et D) sont données. Une seule est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question, ainsi que la lettre de la réponse.

Question 1

Dans une urne, on dispose de $4$ boules bleues, $6$ boules violettes, $7$ boules rouges, $3$ boules jaunes, toutes indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

Quelle est la probabilité d’obtenir une boule violette ?

Proposition A	Proposition B	Proposition C	Proposition D
$\dfrac{6}{14}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{3}{10}$	$\dfrac{14}{20}$

Corrigé

Il y a $4 + 6 + 7 + 3 = 20$ boules en tout, dont $6$ violettes. Toutes ont la même chance d’être tirées :

P(\text{violette}) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}

Réponse C. La proposition A divise par le nombre de boules qui ne sont pas violettes ( $14$ ), ce qui est faux.

Question 2

Calculer $70\,\%$ d’une quantité revient à multiplier cette quantité par :

Proposition A	Proposition B	Proposition C	Proposition D
$0{,}30$	$0{,}70$	$1{,}70$	$1{,}30$

Corrigé

Prendre $70\,\%$ d’une quantité, c’est la multiplier par $\dfrac{70}{100} = 0{,}70$ . Réponse B. (Multiplier par $1{,}70$ correspondrait à une hausse de $70\,\%$ , et par $0{,}30$ à une baisse de $70\,\%$ .)

Question 3

On considère la série suivante composée de $5$ valeurs : $7 \,;\, 18 \,;\, 12 \,;\, 13 \,;\, 15$ .

Proposition A	Proposition B	Proposition C	Proposition D
L’étendue de cette série est $8$	La médiane de cette série est $12$	La moyenne de cette série est $53$	La moyenne de cette série est $13$

Corrigé

On range les valeurs dans l’ordre croissant : $7 \,;\, 12 \,;\, 13 \,;\, 15 \,;\, 18$ .

Étendue : $18 - 7 = 11$ , donc A est fausse.
Médiane : la $3^{\text{e}}$ valeur sur $5$ , soit $13$ , donc B est fausse.
Moyenne : $\dfrac{7 + 18 + 12 + 13 + 15}{5} = \dfrac{65}{5} = 13$ .

Réponse D.

Question 4

Une fonction affine $f$ a pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous.

Repère quadrillé : la droite Cf descend en passant par le point (0 ; 4) sur l’axe des ordonnées et par le point (2 ; 0) sur l’axe des abscisses

L’expression de la fonction $f$ est :

Proposition	Expression
A	$f(x) = 2x + 4$
B	$f(x) = 4x - 2$
C	$f(x) = -2x + 4$
D	$f(x) = -4x + 2$

Corrigé

La droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0 \,;\, 4)$ : l’ordonnée à l’origine vaut $4$ . Elle descend, donc son coefficient directeur est négatif. Quand on avance de $1$ vers la droite (de $x = 0$ à $x = 1$ ), on descend de $4$ à $2$ , soit de $2$ : le coefficient directeur vaut $-2$ .

Donc $f(x) = -2x + 4$ . Réponse C. Vérification : $f(2) = -4 + 4 = 0$ , et la droite passe bien par $(2 \,;\, 0)$ .

Exercice 2 : Pythagore, Thalès et aires (24 points)

Dans la figure ci-dessous qui n’est pas représentée en vraie grandeur :

Les points $G$ , $C$ et $E$ sont alignés.
Les points $F$ , $C$ et $D$ sont alignés.
Les droites $(GF)$ et $(DE)$ sont parallèles.
Le triangle $CDE$ est rectangle en $D$ .
$CD = 21{,}6$ cm, $CE = 29{,}1$ cm et $FC = 17{,}2$ cm.

Deux triangles opposés par le sommet C : GFC à gauche, avec G au-dessus de F, et CDE à droite, rectangle en D, avec E au-dessous de D ; les points F, C, D sont sur une même droite horizontale et G, C, E sur une même droite

1) Montrer que la longueur $DE$ est égale à $19{,}5$ cm.

Corrigé

Le triangle $CDE$ est rectangle en $D$ , donc d’après le théorème de Pythagore (l’hypoténuse est $[CE]$ ) :

CE^2 = CD^2 + DE^2

DE^2 = CE^2 - CD^2 = 29{,}1^2 - 21{,}6^2 = 846{,}81 - 466{,}56 = 380{,}25

$DE$ est une longueur, donc positive : $DE = \sqrt{380{,}25} = 19{,}5$ cm.

2) Calculer l’aire du triangle $CDE$ .

Corrigé

Le triangle est rectangle en $D$ : les côtés $[CD]$ et $[DE]$ de l’angle droit sont une base et la hauteur associée.

\mathcal{A}_{CDE} = \dfrac{CD \times DE}{2} = \dfrac{21{,}6 \times 19{,}5}{2} = \dfrac{421{,}2}{2} = 210{,}6 \text{ cm}^2

L’aire du triangle $CDE$ est de $210{,}6 \text{ cm}^2$ .

3) Calculer la longueur $GF$ arrondie au millimètre près.

Corrigé

Les points $G$ , $C$ , $E$ d’une part et $F$ , $C$ , $D$ d’autre part sont alignés, et les droites $(GF)$ et $(DE)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{CG}{CE} = \dfrac{GF}{DE}

On utilise la première et la dernière fraction :

\dfrac{17{,}2}{21{,}6} = \dfrac{GF}{19{,}5} \quad\text{donc}\quad GF = \dfrac{17{,}2 \times 19{,}5}{21{,}6} = \dfrac{335{,}4}{21{,}6} \approx 15{,}53

$GF \approx 15{,}5$ cm, arrondie au millimètre.

4) On trace une droite $(d)$ perpendiculaire à $(FC)$ avec un logiciel de géométrie dynamique. La droite $(d)$ coupe le segment $[GC]$ en $A$ et le segment $[FC]$ en $B$ . En affichant l’aire du triangle $ABC$ à l’aide du logiciel, on obtient $23{,}4 \text{ cm}^2$ .

La même figure avec une droite verticale d qui coupe [GC] en A et [FC] en B, perpendiculaire à (FC) en B ; le triangle ABC est grisé, avec l’indication « Aire ABC = 23,4 cm² »

a. Montrer que l’aire du triangle $ABC$ est égale à $\dfrac{1}{9}$ de l’aire du triangle $CDE$ .

Corrigé

D’après la question 2, l’aire du triangle $CDE$ vaut $210{,}6 \text{ cm}^2$ , et

\dfrac{1}{9} \times 210{,}6 = \dfrac{210{,}6}{9} = 23{,}4 \text{ cm}^2

C’est bien l’aire du triangle $ABC$ affichée par le logiciel : l’aire de $ABC$ est égale à $\dfrac{1}{9}$ de l’aire de $CDE$ .

b. On admet que les triangles $ABC$ et $EDC$ sont semblables. Déterminer la longueur $AB$ .

Corrigé

Le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $EDC$ . Quand les longueurs sont multipliées par $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ . Ici les aires sont multipliées par $\dfrac{1}{9}$ , donc $k^2 = \dfrac{1}{9}$ et $k = \dfrac{1}{3}$ (car $k > 0$ ).

Les sommets se correspondent ainsi : $C$ est commun aux deux triangles, $B$ (angle droit de $ABC$ ) correspond à $D$ (angle droit de $EDC$ ), donc $A$ correspond à $E$ . Le côté $[AB]$ correspond au côté $[ED]$ :

AB = \dfrac{1}{3} \times ED = \dfrac{19{,}5}{3} = 6{,}5 \text{ cm}

Vérification : de même, $BC = \dfrac{21{,}6}{3} = 7{,}2$ cm, et $\dfrac{7{,}2 \times 6{,}5}{2} = 23{,}4 \text{ cm}^2$ .

Exercice 3 : périmètres, tableur et équation (20 points)

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en cm.

On considère :

le rectangle $ABCD$ tel que $AD = x$ et $AB = 16 - 2x$ ;
le carré $EFGH$ tel que $EF = 2x$ .

À gauche, le rectangle ABCD, avec AD = x et AB = 16 − 2x, angles droits codés ; à droite, le carré EFGH de côté 2x, dont chaque côté est partagé en deux moitiés codées comme AD, de longueur x

Partie A

Dans cette partie, $x = 1{,}5$ cm.

1) Calculer le périmètre du carré $EFGH$ .

Corrigé

$EF = 2x = 2 \times 1{,}5 = 3$ cm. Le périmètre du carré vaut $4 \times 3 = 12$ cm.

2) Calculer $AB$ .

Corrigé

$AB = 16 - 2 \times 1{,}5 = 16 - 3 = 13$ cm.

3) Construire en vraie grandeur le rectangle $ABCD$ .

Corrigé

Le rectangle mesure $AB = 13$ cm de long et $AD = 1{,}5$ cm de large. On trace le segment $[AB]$ de $13$ cm, puis, à l’équerre, les perpendiculaires à $(AB)$ en $A$ et en $B$ ; on y place $D$ et $C$ à $1{,}5$ cm de $A$ et de $B$ , du même côté, et on trace $[DC]$ .

4) Les périmètres de $ABCD$ et $EFGH$ sont-ils égaux ?

Corrigé

Périmètre de $ABCD$ : $2 \times (13 + 1{,}5) = 2 \times 14{,}5 = 29$ cm. Celui de $EFGH$ vaut $12$ cm. Comme $29 \neq 12$ , les périmètres ne sont pas égaux pour $x = 1{,}5$ cm.

Partie B

Dans cette partie, on cherche pour quelle(s) valeur(s) de $x$ le périmètre du rectangle est égal au périmètre du carré.

1) Pour essayer de répondre au problème, on utilise la feuille de calcul suivante :

	A	B	C	D	E	F	G
1	Valeur de $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
2	Périmètre du carré	$8$	$16$	$24$	$32$	$40$	$48$
3	Périmètre du rectangle	$30$	$28$	$26$	$24$	$22$	$20$

a. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer jusqu’à G2 ?

Corrigé

Le côté du carré vaut $2x$ , donc son périmètre vaut $4 \times 2x = 8x$ . La valeur de $x$ est dans la cellule B1. On a pu saisir =8*B1 (ou =4*2*B1).

b. Ce tableau nous permet-il de trouver une valeur de $x$ pour laquelle les deux périmètres sont égaux ?

Corrigé

Non. Dans aucune colonne les deux périmètres ne sont égaux. Pour $x = 3$ , le carré a le plus petit périmètre ( $24 < 26$ ) ; pour $x = 4$ , c’est le rectangle ( $32 > 24$ ). Le tableau montre seulement que la valeur cherchée est comprise entre $3$ et $4$ .

2) a. Montrer que le périmètre du rectangle peut s’écrire $-2x + 32$ .

Corrigé

2 \times (AB + AD) = 2 \times (16 - 2x + x) = 2 \times (16 - x) = 32 - 2x = -2x + 32

Le périmètre du rectangle s’écrit bien $-2x + 32$ .

b. Déterminer la solution au problème par la résolution d’une équation.

Corrigé

Les périmètres sont égaux lorsque $8x = -2x + 32$ .

8x + 2x = 32 \qquad 10x = 32 \qquad x = \dfrac{32}{10} = 3{,}2

Les deux périmètres sont égaux pour $x = 3{,}2$ cm. Vérification : le carré a alors pour périmètre $8 \times 3{,}2 = 25{,}6$ cm, et le rectangle $-2 \times 3{,}2 + 32 = 25{,}6$ cm. Le rectangle existe bien ( $AB = 16 - 6{,}4 = 9{,}6$ cm), et la valeur est entre $3$ et $4$ , comme le laissait voir le tableau.

Exercice 4 : Scratch et hexagones (17 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

Rappel. L’instruction « s’orienter à (90) » signifie que le lutin se dirige vers la droite.

Partie A

Un élève souhaite tracer un hexagone à partir de $6$ triangles équilatéraux comme sur la figure ci-dessous.

Pour cela, il commence par écrire le script ci-dessous du motif « triangle équilatéral ».

1  définir [triangle équilatéral]
2    répéter (   ) fois
3      avancer de (   ) pas
4      tourner ↺ de (   ) degrés

À gauche, l’hexagone souhaité, formé de six triangles équilatéraux autour d’un même sommet ; à droite, le motif triangle équilatéral, un triangle dont la base est horizontale, le lutin étant placé au sommet en bas à gauche

1) Compléter et recopier sur la copie les lignes 2, 3 et 4 du script pour que le lutin dessine un triangle équilatéral de côté $50$ pas.

Corrigé

2    répéter (3) fois
3      avancer de (50) pas
4      tourner ↺ de (120) degrés

Un triangle a $3$ côtés. À chaque sommet, le lutin tourne de l’angle extérieur : $180° - 60° = 120°$ (ou $360° \div 3 = 120°$ ). Tourner de $60°$ serait l’erreur classique : on prendrait l’angle intérieur du triangle.

2) Cet élève teste les deux programmes A et B. Il obtient les deux dessins ci-dessous. Quel programme permet de tracer l’hexagone souhaité ?

Programme A                          Programme B
quand la touche [A] est pressée      quand la touche [B] est pressée
aller à x: (0) y: (0)                aller à x: (0) y: (0)
s'orienter à (90)                    s'orienter à (90)
effacer tout                         effacer tout
stylo en position d'écriture         stylo en position d'écriture
répéter (6) fois                     répéter (6) fois
  triangle équilatéral                 triangle équilatéral
  tourner ↺ de (60) degrés             tourner ↺ de (120) degrés

Dessins obtenus : en haut, un hexagone formé de six triangles équilatéraux ; en bas, trois triangles équilatéraux disposés autour d’un même point, deux en haut et un en bas, avec des vides entre eux

Corrigé

C’est le programme A. Les six triangles doivent se partager le tour complet autour de l’origine, soit $360° \div 6 = 60°$ chacun : on tourne de $60°$ entre deux triangles.

Avec le programme B, on tourne de $120°$ : après $3$ triangles, le lutin a fait un tour complet ( $3 \times 120° = 360°$ ), et les $3$ triangles suivants repassent sur les premiers. On obtient le dessin du bas, avec seulement trois triangles.

Partie B

Un autre élève souhaite tracer un hexagone régulier de $50$ pas de côté comme sur la figure ci-dessous.

Figure obtenue : un hexagone régulier dont le côté du bas est horizontal ; une flèche désigne son sommet en bas à gauche, le point de coordonnées (0 ; 0). Informations sur les hexagones : un hexagone régulier dont les six côtés sont codés égaux et dont les six angles mesurent 120°

Il a écrit le programme suivant :

quand le drapeau est cliqué
aller à x: (0) y: (0)
s'orienter à (90)
stylo en position d'écriture
effacer tout
répéter (A) fois
  [                ]

1) Sur la copie, recopier le bloc « répéter » en remplaçant A par sa valeur et en le complétant avec $2$ instructions choisies parmi les $6$ instructions proposées ci-dessous.

avancer de (50) pas     tourner ↻ de (120) degrés     tourner ↺ de (60) degrés
avancer de (5) pas      tourner ↺ de (120) degrés     tourner ↻ de (60) degrés

Corrigé

répéter (6) fois
  avancer de (50) pas
  tourner ↺ de (60) degrés

L’hexagone a $6$ côtés de $50$ pas : $A = 6$ et « avancer de (50) pas ».
Le lutin part du sommet en bas à gauche, vers la droite : il trace d’abord le côté du bas, puis doit remonter, donc tourner vers la gauche, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (↺).
Il tourne de l’angle extérieur : $180° - 120° = 60°$ (et $6 \times 60° = 360°$ , un tour complet). Avec $120°$ , on obtiendrait un triangle.

Exercice 5 : PGCD, volumes et pourcentage (23 points)

Partie A

Un magasin a reçu $650$ poissons dont $350$ poissons de type A et $300$ poissons de type B.

La responsable du magasin souhaite vendre ces poissons par lots de sorte que :

le nombre de poissons de type A soit le même dans chaque lot ;
le nombre de poissons de type B soit le même dans chaque lot ;
tous les poissons soient répartis dans les lots.

1) Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produits de facteurs premiers du nombre $300$ ? Aucune justification n’est demandée.

Proposition 1	Proposition 2	Proposition 3
$2^2 \times 5 \times 15$	$2 \times 2 \times 3 \times 25$	$2^2 \times 3 \times 5^2$

Corrigé

Proposition 3 : $2^2 \times 3 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300$ , et $2$ , $3$ , $5$ sont premiers. Les propositions 1 et 2 sont bien égales à $300$ , mais $15$ et $25$ ne sont pas des nombres premiers.

2) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $350$ .

Corrigé

$350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7$ , donc

350 = 2 \times 5^2 \times 7

3) Quel nombre maximal de lots, la responsable du magasin pourra-t-elle constituer ?

Corrigé

Le nombre de lots doit diviser $350$ (poissons de type A répartis également) et $300$ (type B) : c’est un diviseur commun à $350$ et $300$ . On cherche le plus grand.

On prend les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec le plus petit exposant :

350 = 2 \times 5^2 \times 7 \qquad 300 = 2^2 \times 3 \times 5^2

Le plus grand diviseur commun est $2 \times 5^2 = 50$ . La responsable pourra constituer au maximum $50$ lots.

4) Dans ce cas, combien y aura-t-il de poissons de chaque type dans chaque lot ?

Corrigé

$350 \div 50 = 7$ et $300 \div 50 = 6$ : chaque lot contiendra $7$ poissons de type A et $6$ poissons de type B, soit $13$ poissons (et $50 \times 13 = 650$ ).

Partie B

Le magasin a d’autres poissons, appelés « poissons combattants ».

1) En captivité, il faut prévoir au moins $15$ litres d’eau pour un poisson combattant. Sachant qu’un aquarium se remplit au $\dfrac{4}{5}$ de sa hauteur, lequel doit-on choisir pour un poisson combattant ?

Aquarium 1 : un cylindre de diamètre de base 30 cm et de hauteur 25 cm. Aquarium 2 : un pavé droit de longueur 28 cm, de largeur 28 cm et de hauteur 30 cm

Rappels.

Le volume d’un pavé droit est donné par la formule : $V = \text{Longueur} \times \text{Largeur} \times \text{Hauteur}$ .
Le volume d’un cylindre de rayon de la base $r$ est donné par la formule $V = \pi \times r^2 \times \text{Hauteur}$ .
$1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ .

Corrigé

On calcule le volume d’eau, c’est-à-dire le volume jusqu’aux $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur.

Aquarium 1. Le rayon vaut $30 \div 2 = 15$ cm et la hauteur d’eau $\dfrac{4}{5} \times 25 = 20$ cm.

V_1 = \pi \times 15^2 \times 20 = 4\,500\pi \approx 14\,137 \text{ cm}^3

Aquarium 2. La hauteur d’eau vaut $\dfrac{4}{5} \times 30 = 24$ cm.

V_2 = 28 \times 28 \times 24 = 18\,816 \text{ cm}^3

Comme $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$ : $V_1 \approx 14{,}1$ L et $V_2 \approx 18{,}8$ L.

L’aquarium 1 contient moins de $15$ L d’eau, l’aquarium 2 plus de $15$ L : on doit choisir l’aquarium 2.

2) Le prix d’un poisson combattant est de $15$ €. Une famille achète un poisson combattant et un aquarium. L’aquarium coûte $40$ €. Le vendeur fait une réduction de $15\,\%$ sur le prix total. Combien va payer la famille ?

Corrigé

Prix total avant réduction : $15 + 40 = 55$ €.

Réduction : $55 \times \dfrac{15}{100} = 8{,}25$ €. Prix payé : $55 - 8{,}25 = 46{,}75$ €. (En une seule étape : $55 \times 0{,}85 = 46{,}75$ .)

La famille va payer $46{,}75$ €.

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