Brevet · session 2024 · Polynésie française, série générale

Brevet 2024 de maths (Polynésie) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2024, Polynésie (24GENMATPO1) : QCM, coût des JO, statistiques, Pythagore, Thalès et trigonométrie, probabilités, fonctions, tableur et Scratch.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2024). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient. L’annexe (exercice 4, question 1 et exercice 5, question 2. a.) est à rendre avec la copie : elle est reprise ici dans les questions concernées.

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : QCM (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées. Une seule affirmation est exacte. Sur la copie, écrire le numéro de la question et l’affirmation choisie. Aucune justification n’est attendue.

Question 1

$ABC$ est un triangle tel que $AB = 20$ cm, $BC = 21$ cm et $AC = 29$ cm. On peut affirmer que :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$ABC$ est un triangle rectangle en $A$	$ABC$ est un triangle rectangle en $B$	$ABC$ est un triangle rectangle en $C$	$ABC$ n’est pas un triangle rectangle

Corrigé

Le plus long côté est $[AC]$ . On compare :

AC^2 = 29^2 = 841 \qquad AB^2 + BC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841

$AC^2 = AB^2 + BC^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus long côté $[AC]$ , donc en $B$ .

Réponse B.

Question 2

Voici la représentation graphique d’une fonction $f$ .

Repère quadrillé, abscisses de −4 à 3, ordonnées de −1 à 3. La représentation de f est une droite qui monte, passe par les points (−4 ; −1), (−2 ; 0), (0 ; 1) et (2 ; 2)

La fonction $f$ est définie par :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$f(x) = 2x - 2$	$f(x) = 2x + 1$	$f(x) = \dfrac{x}{2} - 2$	$f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$

Corrigé

La droite coupe l’axe des ordonnées au point $(0 \,;\, 1)$ : l’ordonnée à l’origine est $1$ , ce qui écarte les réponses A et C.

Quand $x$ augmente de $2$ (de $0$ à $2$ ), $f(x)$ augmente de $1$ (de $1$ à $2$ ) : le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ , pas $2$ .

Réponse D : $f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$ . Vérification : $f(-2) = -1 + 1 = 0$ , la droite passe bien par $(-2 \,;\, 0)$ .

Question 3

Sur la figure ci-dessous, le carré n° 2 est l’image du carré n° 1 par :

Le carré n° 1 a son sommet en bas à droite au point C, sur une droite horizontale. Sur cette droite, O est à droite de C, puis E. Le codage indique que OE est le double de CO. Le carré n° 2, deux fois plus grand, est placé sous la droite, son sommet en haut à gauche en E. Un segment part du sommet en haut à droite du carré n° 1, passe par O et aboutit au sommet en bas à gauche du carré n° 2

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
la symétrie centrale de centre $O$	la translation qui transforme $C$ en $E$	l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$	l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$

Corrigé

Le carré n° 2 a des côtés deux fois plus longs que le carré n° 1 : ce n’est ni une symétrie centrale ni une translation, qui conservent les longueurs.

Le point $C$ a pour image $E$ : $E$ est de l’autre côté de $O$ , à une distance $OE = 2 \times OC$ . De même, le sommet en haut à droite du carré n° 1 a pour image le sommet en bas à gauche du carré n° 2, de l’autre côté de $O$ sur la même droite. Le centre $O$ est entre un point et son image : le rapport est négatif.

Réponse D : l’homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$ .

Question 4

Le cocktail Bora-Bora est composé de jus d’ananas, de jus de fruit de la passion et de jus de citron dans le ratio de $10 : 6 : 2$ . Pour réaliser $90$ cL de ce cocktail, il faut prévoir exactement :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$6$ cL de jus de fruit de la passion	$30$ cL de jus de fruit de la passion	$54$ cL de jus de fruit de la passion	$45$ cL de jus de fruit de la passion

Corrigé

Le cocktail compte $10 + 6 + 2 = 18$ parts, donc une part vaut $90 \div 18 = 5$ cL. Le jus de fruit de la passion représente $6$ parts : $6 \times 5 = 30$ cL.

Réponse B. Vérification : $50 + 30 + 10 = 90$ cL.

Question 5

Un maraîcher a cueilli $408$ pommes et $168$ poires. Il décide de remplir des sacs pour ses clients comportant chacun le même nombre de pommes et le même nombre de poires, en utilisant tous les fruits cueillis. Le plus grand nombre de sacs qu’il peut ainsi remplir est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$48$ sacs	$24$ sacs	$8$ sacs	$6$ sacs

Corrigé

Le nombre de sacs doit diviser $408$ et $168$ : on cherche leur plus grand diviseur commun. On décompose :

408 = 2^3 \times 3 \times 17 \qquad 168 = 2^3 \times 3 \times 7

Le plus grand diviseur commun est $2^3 \times 3 = 24$ .

Réponse B : $24$ sacs, avec $408 \div 24 = 17$ pommes et $168 \div 24 = 7$ poires chacun. La réponse A ne convient pas : $48$ ne divise pas $408$ ( $408 = 8 \times 48 + 24$ ).

Exercice 2 : coût des jeux Olympiques, pourcentages et statistiques (17 points)

Les jeux Olympiques (JO) d’été ont généralement lieu tous les 4 ans.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux coûts d’organisation des dernières éditions des JO d’été. On rappelle que le coût est l’ensemble des dépenses entraînées par l’organisation des JO.

On précise que :

le coût prévisionnel désigne les dépenses prévues par les organisateurs avant l’édition des JO ;
le coût réel désigne les dépenses réelles qui ont été nécessaires pour l’organisation des JO.

Le graphique ci-dessous compare ces deux coûts pour les dernières éditions des JO d’été.

Diagramme en barres : coût prévisionnel puis coût réel de chaque édition, en milliard d’euros. Barcelone 1992 : 3,5 et 9,3. Atlanta 1996 : 1,8 et 2,3. Sydney 2000 : 3 et 5,5. Athènes 2004 : 5,3 et 10. Pékin 2008 : 2,6 et 31. Londres 2012 : 4,8 et 11. Rio de Janeiro 2016 : 9 et 16,5. Tokyo 2021 : 13 et 12,1

La crise sanitaire de la Covid-19 a décalé à 2021 les Jeux Olympiques de Tokyo prévus en 2020.

Sources : Le Monde, Les Décodeurs (14 septembre 2017) ; Les Échos.

1. Entre 1992 et 2021, combien d’éditions ont eu un coût réel supérieur ou égal à $10$ milliards d’euros ?

Corrigé

Les coûts réels supérieurs ou égaux à $10$ milliards d’euros sont ceux d’Athènes ( $10$ ), Pékin ( $31$ ), Londres ( $11$ ), Rio de Janeiro ( $16{,}5$ ) et Tokyo ( $12{,}1$ ).

$5$ éditions sur $8$ . Athènes compte : son coût réel est égal à $10$ milliards d’euros.

2. Calculer le pourcentage d’augmentation entre le coût prévisionnel et le coût réel lors de l’édition des JO de Rio de Janeiro 2016, arrondi à l’unité.

Corrigé

Le coût est passé de $9$ milliards d’euros (prévisionnel) à $16{,}5$ milliards d’euros (réel). On rapporte l’augmentation au coût prévisionnel, la valeur de départ :

\dfrac{16{,}5 - 9}{9} = \dfrac{7{,}5}{9} \approx 0{,}833 \qquad\text{soit environ } 83{,}3\ \%

Le coût réel dépasse le coût prévisionnel d’environ $83\ \%$ (arrondi à l’unité).

3. Montrer que le coût réel moyen entre 1992 et 2021 est $12{,}2$ milliards d’euros, arrondi au dixième de milliard.

Corrigé

Il y a $8$ éditions :

\dfrac{9{,}3 + 2{,}3 + 5{,}5 + 10 + 31 + 11 + 16{,}5 + 12{,}1}{8} = \dfrac{97{,}7}{8} = 12{,}212\,5

Arrondi au dixième, le coût réel moyen est bien de $12{,}2$ milliards d’euros.

4. Questions de journalistes

4. a. Un journaliste mentionne que le coût réel moyen des JO sur la période 1992 à 2021 est de $12{,}2$ milliards d’euros. Il poursuit en affirmant : « Cela signifie que la moitié des éditions entre 1992 et 2021 ont un coût réel supérieur à $12{,}2$ milliards d’euros. » Que penser de cette affirmation ?

Corrigé

L’affirmation est fausse. La moitié des $8$ éditions, ce serait $4$ éditions ; or seules deux éditions sur huit ont un coût réel supérieur à $12{,}2$ milliards d’euros : Pékin ( $31$ ) et Rio de Janeiro ( $16{,}5$ ). Tokyo ( $12{,}1$ ) est juste en dessous.

Le journaliste confond la moyenne et la médiane. La valeur qui partage les éditions en deux moitiés est la médiane. On range les coûts réels dans l’ordre croissant :

2{,}3 \;;\; 5{,}5 \;;\; 9{,}3 \;;\; 10 \;;\; 11 \;;\; 12{,}1 \;;\; 16{,}5 \;;\; 31

Avec $8$ valeurs, la médiane est la moyenne des $4^{\text{e}}$ et $5^{\text{e}}$ : $\dfrac{10 + 11}{2} = 10{,}5$ milliards d’euros. La moyenne est tirée vers le haut par le coût très élevé de Pékin.

4. b. Le coût prévisionnel moyen entre 1992 et 2024 est de l’ordre de $5{,}5$ milliards d’euros. Une journaliste cherche à connaître le coût prévisionnel des JO de Paris 2024 pour préparer son intervention télévisée. Calculer le coût prévisionnel des JO de Paris 2024 qu’elle devrait annoncer.

Corrigé

De 1992 à 2024, il y a $9$ éditions : les $8$ du graphique et Paris 2024. Si la moyenne de leurs coûts prévisionnels est $5{,}5$ milliards d’euros, leur somme est :

9 \times 5{,}5 = 49{,}5 \text{ milliards d’euros}

La somme des $8$ coûts prévisionnels du graphique est :

3{,}5 + 1{,}8 + 3 + 5{,}3 + 2{,}6 + 4{,}8 + 9 + 13 = 43

Le coût prévisionnel de Paris 2024 est donc $49{,}5 - 43 = 6{,}5$ milliards d’euros. Elle devrait annoncer environ $6{,}5$ milliards d’euros : la moyenne n’est donnée que « de l’ordre de » $5{,}5$ , le résultat est donc lui aussi un ordre de grandeur.

Exercice 3 : centre aquatique, Pythagore, Thalès, trigonométrie et volumes (22 points)

La construction du Centre Aquatique Olympique de Saint-Denis a débuté en 2021 pour accueillir les épreuves de natation artistique des jeux Olympiques de Paris 2024.

Alyssa et Jules visitent le Centre Aquatique Olympique et s’installent dans les gradins.

On a schématisé leurs positions par rapport à la piscine olympique sur la figure ci-dessous, qui modélise la situation : Alyssa est installée dans les gradins Nord au point $A$ et Jules est assis dans les gradins Sud au point $J$ . La figure n’est pas à l’échelle.

Les points C, B, D et E sont alignés sur une droite horizontale, la piscine olympique entre B et D. À gauche, les gradins Nord : triangle ABC rectangle en C, avec A au-dessus de C. À droite, les gradins Sud : triangle FDE rectangle en E, avec F au-dessus de E ; J est sur le segment [FD], H sur le segment [FE], et le segment [JH] est perpendiculaire à (FE) en H

On donne : $AC = FJ = 15$ m ; $BC = 27$ m ; $FH = 7$ m ; $EF = 18$ m. Les points $F$ , $J$ et $D$ sont alignés. Les points $F$ , $H$ et $E$ sont alignés. Les points $C$ , $B$ , $D$ , $E$ sont alignés.

1. Jules et Alyssa discutent entre eux pour savoir qui est le mieux placé pour assister à l’événement.

1. a. Calculer la distance entre Alyssa et le bord de la piscine, c’est-à-dire calculer la longueur $AB$ . Arrondir le résultat au mètre près.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . D’après le théorème de Pythagore :

AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 27^2 = 225 + 729 = 954

AB = \sqrt{954} \approx 30{,}9 \text{ m}

Arrondie au mètre près, $AB \approx 31$ m.

1. b. Vérifier que la distance entre Jules et le bord de la piscine, c’est-à-dire la longueur $JD$ , est de $24$ m, arrondie au mètre près.

Corrigé

Les droites $(JH)$ et $(DE)$ sont toutes deux perpendiculaires à la droite $(FE)$ (angles droits en $H$ et en $E$ ) : elles sont donc parallèles.

Les points $F$ , $J$ , $D$ d’une part et $F$ , $H$ , $E$ d’autre part sont alignés, et les droites $(JH)$ et $(DE)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{FJ}{FD} = \dfrac{FH}{FE} = \dfrac{JH}{DE} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{15}{FD} = \dfrac{7}{18}

FD = \dfrac{15 \times 18}{7} = \dfrac{270}{7} \approx 38{,}57 \text{ m}

$J$ est entre $F$ et $D$ , donc :

JD = FD - FJ = \dfrac{270}{7} - 15 = \dfrac{165}{7} \approx 23{,}6 \text{ m}

Arrondie au mètre près, la longueur $JD$ est bien de $24$ m.

1. c. En déduire lequel des deux amis est le plus proche d’un bord de la piscine.

Corrigé

$JD \approx 23{,}6$ m et $AB \approx 30{,}9$ m, donc $JD < AB$ : Jules est le plus proche d’un bord de la piscine, d’environ $7$ m.

2. Pour respecter les normes de sécurité, l’angle d’inclinaison $\widehat{ABC}$ des gradins Nord ne doit pas dépasser $35°$ . Les gradins Nord respectent-ils cette norme ?

Corrigé

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , pour l’angle $\widehat{ABC}$ , le côté opposé est $[AC]$ et le côté adjacent est $[BC]$ :

\tan(\widehat{ABC}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{27} \qquad\text{donc}\qquad \widehat{ABC} \approx 29{,}1°

$29{,}1° < 35°$ : les gradins Nord respectent la norme.

3. Le toit du Centre Aquatique Olympique a une surface de $5\,000 \text{ m}^2$ .

On estime que $4\,678{,}4 \text{ m}^2$ de ce toit est recouvert de panneaux photovoltaïques. Voici les caractéristiques d’un panneau photovoltaïque standard fournies par le constructeur :

Panneau photovoltaïque rectangulaire de 1,7 m de long et 1 m de large, formé de 4 rangées de 10 cellules

Dimensions : $1$ m de large et $1{,}7$ m de long
Énergie produite : environ $350$ kWh par an

Montrer que la quantité annuelle d’énergie produite par l’ensemble des panneaux photovoltaïques du toit du Centre Aquatique Olympique est de $963\,200$ kilowattheures (kWh).

Corrigé

Un panneau a une aire de $1 \times 1{,}7 = 1{,}7 \text{ m}^2$ . Le nombre de panneaux est :

\dfrac{4\,678{,}4}{1{,}7} = 2\,752

Chacun produit environ $350$ kWh par an :

2\,752 \times 350 = 963\,200 \text{ kWh}

La production annuelle est bien de $963\,200$ kWh. La surface totale du toit ( $5\,000 \text{ m}^2$ ) ne sert pas : seule compte la surface couverte de panneaux.

4. La température règlementaire de l’eau contenue dans la piscine lors des jeux Olympiques doit être comprise entre $25°$ et $28°$ . Pour respecter cette réglementation, on souhaite que l’eau contenue dans la piscine olympique de Saint-Denis soit à une température de $26°$ . On admet que l’eau contenue dans cette piscine occupe un pavé droit dont les dimensions sont :

Longueur : $50$ m
Largeur : $25$ m
Profondeur : $3$ m

On suppose qu’avant la première mise en chauffe de la piscine olympique, l’eau est à $18°$ .

On estime qu’il faut environ $9{,}3$ kWh pour chauffer $1 \text{ m}^3$ d’eau de $18°$ jusqu’à $26°$ .

Quelle quantité d’énergie, en kWh, sera nécessaire pour chauffer toute l’eau de la piscine olympique jusqu’à $26°$ ?

Corrigé

Volume d’eau, celui du pavé droit :

V = 50 \times 25 \times 3 = 3\,750 \text{ m}^3

Énergie nécessaire, à $9{,}3$ kWh par mètre cube :

3\,750 \times 9{,}3 = 34\,875 \text{ kWh}

Il faut environ $34\,875$ kWh. C’est moins de $4\ \%$ de la production annuelle des panneaux de la question 3 ( $963\,200$ kWh).

Exercice 4 : probabilités et produits de deux boules (18 points)

On dispose de deux boîtes contenant des boules numérotées, indiscernables au toucher.

La première boîte contient trois boules numérotées $2$ , $3$ et $5$ .

La deuxième boîte contient deux boules numérotées $3$ et $5$ .

Première boîte : trois boules numérotées 5, 2 et 3. Deuxième boîte : deux boules numérotées 3 et 5

On tire au hasard une boule dans la première boîte puis une boule dans la deuxième boîte.

On s’intéresse au produit des nombres inscrits sur ces deux boules.

Par exemple, si on tire la boule numérotée $2$ dans la première boîte puis la boule numérotée $5$ dans la deuxième boîte, on obtient comme résultat : $2 \times 5 = 10$ .

1. Compléter sur l’annexe, à rendre avec la copie, le tableau à double entrée afin de faire apparaître tous les résultats possibles de cette expérience.

1er tirage \ 2e tirage	$3$	$5$
$5$
$2$		$10$ ( $2 \times 5 = 10$ )
$3$

Corrigé

1er tirage \ 2e tirage	$3$	$5$
$5$	$15$	$25$
$2$	$6$	$10$
$3$	$9$	$15$

Il y a $3 \times 2 = 6$ issues, toutes équiprobables : les boules sont indiscernables au toucher et tirées au hasard.

2. Quelle est la probabilité d’obtenir $15$ comme résultat ?

Corrigé

Le résultat $15$ apparaît dans $2$ cases sur $6$ ( $5 \times 3$ et $3 \times 5$ ) :

P(15) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}

3. L’affirmation suivante est-elle vraie ?

Affirmation : Il y a $2$ chances sur $3$ d’obtenir un multiple de $3$ .

Corrigé

Parmi les $6$ résultats ( $15$ , $25$ , $6$ , $10$ , $9$ , $15$ ), les multiples de $3$ sont $15$ , $6$ , $9$ et $15$ : il y en a $4$ .

P(\text{multiple de } 3) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}

L’affirmation est vraie.

4. On ajoute une troisième boîte contenant deux boules numérotées avec des nombres entiers. On tire au hasard une boule dans la première boîte, puis une boule dans la deuxième boîte, puis une boule dans la troisième boîte.

On multiplie les nombres inscrits sur ces boules et on s’intéresse au produit de ces trois nombres.

Anissa a obtenu comme résultat $165$ et Bilel a obtenu $78$ .

Quels sont les nombres inscrits sur les boules de la troisième boîte ?

Corrigé

Le produit des deux premières boules est l’un des nombres du tableau : $6$ , $9$ , $10$ , $15$ ou $25$ . Le nombre de la troisième boule est le quotient du résultat par ce produit, et il doit être entier.

$165 = 3 \times 5 \times 11$ . Parmi $6$ , $9$ , $10$ , $15$ et $25$ , seul $15$ divise $165$ : $165 \div 15 = 11$ . La boule qu’Anissa a tirée dans la troisième boîte porte le nombre $11$ .
$78 = 2 \times 3 \times 13$ . Parmi $6$ , $9$ , $10$ , $15$ et $25$ , seul $6$ divise $78$ : $78 \div 6 = 13$ . La boule que Bilel a tirée dans la troisième boîte porte le nombre $13$ .

$11 \ne 13$ : ce sont deux boules différentes. La troisième boîte n’en contient que deux, ce sont donc les nombres $11$ et $13$ .

Exercice 5 : fonctions, tableur, Scratch et équation produit (23 points)

Dans cet exercice, les deux parties sont indépendantes.

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = (x + 2)^2 - x$ et $g(x) = 7x + 4$ .

Partie A

1. Calculer $f(-4)$ .

Corrigé

f(-4) = (-4 + 2)^2 - (-4) = (-2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8

2. Déterminer un antécédent de $3$ par la fonction $g$ .

Corrigé

On résout $g(x) = 3$ :

7x + 4 = 3 \qquad 7x = -1 \qquad x = -\dfrac{1}{7}

Un antécédent de $3$ par $g$ est $-\dfrac{1}{7}$ . Vérification : $7 \times \left(-\dfrac{1}{7}\right) + 4 = -1 + 4 = 3$ .

Partie B

Trois élèves, Paul, Jane et Morgane, cherchent à résoudre l’équation $f(x) = g(x)$ par trois méthodes différentes.

1. Paul utilise un tableur. Il calcule ainsi les images des entiers compris entre $-3$ et $3$ par les fonctions $f$ et $g$ .

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	x	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
2	f(x)	$4$	$2$	$2$	$4$	$8$	$14$	$22$
3	g(x)	$-17$	$-10$	$-3$	$4$	$11$	$18$	$25$

1. a. Quelle formule a-t-il saisie en cellule B3 puis étirée vers la droite pour compléter la ligne 3 du tableau ?

Corrigé

La ligne 3 contient $g(x) = 7x + 4$ , où $x$ est dans la ligne 1 de la même colonne. En B3, il a saisi :

=7*B1+4

En étirant vers la droite, B1 devient C1, D1… Vérification : $7 \times (-3) + 4 = -17$ .

1. b. Avec cette méthode, quelle(s) solution(s) trouve-t-il à l’équation $f(x) = g(x)$ ?

Corrigé

On cherche les colonnes où les lignes 2 et 3 sont égales : seule la colonne E convient, avec $f(0) = g(0) = 4$ . Paul trouve une seule solution : $0$ .

2. Jane utilise un logiciel de programmation. Le programme qu’elle a créé permet de tester l’égalité $f(x) = g(x)$ pour une valeur de $x$ choisie par l’utilisateur. Ce programme se trouve en annexe :

Ligne 1  quand le drapeau est cliqué
Ligne 2  demander [Choisir un nombre] et attendre
Ligne 3  mettre [image par f] à ((((réponse) + (2)) * ((réponse) + (2))) - (réponse))
Ligne 4  mettre [image par g] à (((.....) * (réponse)) + (.....))
Ligne 5  si <(image par f) = (image par g)> alors
Ligne 6    dire [Le nombre choisi est une solution de l’équation f(x)=g(x)] pendant (2) secondes
Ligne 7  sinon
Ligne 8    dire [Le nombre choisi n’est pas une solution de l’équation f(x)=g(x)] pendant (2) secondes

Elle décide de tester toutes les valeurs entières entre $-5$ et $3$ .

2. a. Compléter sur l’annexe, à rendre avec la copie, la ligne 4 du programme de Jane afin d’obtenir l’image par la fonction $g$ du nombre choisi.

Corrigé

Ligne 4  mettre [image par g] à (((7) * (réponse)) + (4))

Le programme calcule $7 \times x + 4$ , soit $g(x)$ , avec $x$ le nombre choisi.

2. b. Quelle réponse donne le programme si le nombre choisi est $0$ ?

Corrigé

Avec $0$ : image par f $= (0 + 2) \times (0 + 2) - 0 = 4$ et image par g $= 7 \times 0 + 4 = 4$ . Les deux images sont égales : le programme dit « Le nombre choisi est une solution de l’équation f(x)=g(x) ».

2. c. En déduire une solution de l’équation $f(x) = g(x)$ .

Corrigé

D’après la question 2. b., $f(0) = g(0)$ : $0$ est une solution de l’équation.

3. Morgane décide de résoudre cette équation par le calcul.

3. a. Démontrer que l’équation $f(x) = g(x)$ peut se ramener à l’équation $x^2 - 4x = 0$ .

Corrigé

On développe $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ (double distributivité : $(x + 2)(x + 2) = x^2 + 2x + 2x + 4$ ), donc :

f(x) = x^2 + 4x + 4 - x = x^2 + 3x + 4

L’équation $f(x) = g(x)$ s’écrit :

x^2 + 3x + 4 = 7x + 4

On soustrait $7x + 4$ aux deux membres :

x^2 + 3x + 4 - 7x - 4 = 0 \qquad\text{soit}\qquad x^2 - 4x = 0

3. b. Factoriser l’expression $x^2 - 4x$ .

Corrigé

$x$ est un facteur commun :

x^2 - 4x = x \times x - 4 \times x = x(x - 4)

3. c. En déduire les solutions de l’équation $f(x) = g(x)$ .

Corrigé

D’après les questions 3. a. et 3. b., l’équation équivaut à $x(x - 4) = 0$ . Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

x = 0 \quad\text{ou}\quad x - 4 = 0 \qquad\text{donc}\qquad x = 0 \quad\text{ou}\quad x = 4

L’équation a deux solutions : $0$ et $4$ . Vérification : $f(4) = 6^2 - 4 = 32$ et $g(4) = 7 \times 4 + 4 = 32$ .

4. Dire pour chaque élève s’il a résolu l’équation $f(x) = g(x)$ . Expliquer pourquoi.

Corrigé

L’équation a deux solutions, $0$ et $4$ (question 3. c.).

Paul n’a pas résolu l’équation : son tableau ne teste que les entiers de $-3$ à $3$ . Il trouve $0$ , mais pas $4$ , qui est en dehors de ses valeurs. Il ne peut pas non plus savoir qu’il n’y a pas d’autre solution, par exemple non entière.
Jane n’a pas résolu l’équation non plus : elle ne teste que les entiers de $-5$ à $3$ . Elle trouve $0$ , mais pas $4$ , et ne peut pas savoir s’il existe d’autres solutions.
Morgane a résolu l’équation : le calcul donne toutes les solutions, $0$ et $4$ , et prouve qu’il n’y en a pas d’autre.

Tester des valeurs permet de trouver des solutions, mais seule la résolution algébrique les donne toutes.

Sujet officiel

24GENMATPO1 · session 2024

Diplôme national du brevet 2024, mathématiques, série générale, Polynésie françaiseÉduscol ↗