Brevet · session 2024 · Métropole, La Réunion, Mayotte, Antilles et Guyane, série générale

Brevet 2024 de maths (métropole, Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2024, métropole et Antilles-Guyane (24GENMATMEAG1) : roulette, programmes de calcul et Scratch, cercle et Thalès, QCM, PGCD, volume.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2024). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : probabilités, la roulette (20 points)

Au casino, la roulette est un jeu de hasard pour lequel chaque joueur mise au choix sur un ou plusieurs numéros. On lance une bille sur une roue qui tourne, numérotée de $0$ à $36$ .

La bille a la même probabilité de s’arrêter sur chaque numéro.

1. Expliquer pourquoi la probabilité que la bille s’arrête sur le numéro $7$ est $\dfrac{1}{37}$ .

Corrigé

La roue compte $37$ numéros : de $1$ à $36$ , plus le $0$ . La bille a la même probabilité de s’arrêter sur chacun : c’est une situation d’équiprobabilité, et le numéro $7$ est une issue parmi $37$ .

P(\text{« le numéro } 7 \text{ »}) = \dfrac{1}{37}

2. Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur une case à la fois noire et paire.

Corrigé

On lit la couleur de la case qui porte le numéro, dans l’anneau des numéros. On relève ainsi les $18$ cases noires : $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , $10$ , $11$ , $13$ , $15$ , $17$ , $20$ , $22$ , $24$ , $26$ , $28$ , $29$ , $31$ , $33$ , $35$ .

Parmi elles, les numéros pairs sont $2$ , $4$ , $6$ , $8$ , $10$ , $20$ , $22$ , $24$ , $26$ et $28$ : il y en a $10$ . (Le $0$ est pair, mais sa case n’est pas noire.)

P = \dfrac{10}{37}

3. a. Déterminer la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro inférieur ou égal à $6$ .

Corrigé

Les numéros inférieurs ou égaux à $6$ sont $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ : il y en a $7$ (sans oublier le $0$ ).

P = \dfrac{7}{37}

3. b. En déduire la probabilité que la bille s’arrête sur un numéro supérieur ou égal à $7$ .

Corrigé

Les numéros étant des entiers, « supérieur ou égal à $7$ » est l’événement contraire de « inférieur ou égal à $6$ ». Donc :

P = 1 - \dfrac{7}{37} = \dfrac{30}{37}

On peut le vérifier : de $7$ à $36$ , il y a $36 - 7 + 1 = 30$ numéros.

3. c. Un joueur affirme qu’on a plus de $3$ chances sur $4$ d’obtenir un numéro supérieur ou égal à $7$ . A-t-il raison ?

Corrigé

« $3$ chances sur $4$ », c’est une probabilité de $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ . Or :

\dfrac{30}{37} \approx 0{,}811

Comme $0{,}811 > 0{,}75$ , le joueur a raison. Sans valeur approchée : $\dfrac{30}{37} = \dfrac{120}{148}$ et $\dfrac{3}{4} = \dfrac{111}{148}$ , et $120 > 111$ .

Exercice 2 : programmes de calcul et Scratch (20 points)

Programme A :

Choisir un nombre.

Prendre le carré du nombre choisi.

Multiplier le résultat par $2$ .

Ajouter le double du nombre de départ.

Soustraire $4$ au résultat.

Programme B (Scratch, lignes numérotées de 1 à 6) :

1  quand le drapeau est cliqué
2  demander [Choisir un nombre] et attendre
3  mettre [Nombre choisi] à (réponse)
4  mettre [Résultat 1] à ((Nombre choisi) + (2))
5  mettre [Résultat 2] à ((Nombre choisi) - (1))
6  dire (regrouper [Le résultat est] et ((Résultat 1) * (Résultat 2)))

1. a. Vérifier que, si on choisit $5$ comme nombre de départ, le résultat du programme A est $56$ .

Corrigé

$5^2 = 25$ , puis $25 \times 2 = 50$ , puis $50 + 2 \times 5 = 50 + 10 = 60$ , puis $60 - 4 = 56$ . On obtient bien $56$ .

1. b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $-9$ comme nombre de départ ?

Corrigé

« Nombre choisi » vaut $-9$ , donc « Résultat 1 » vaut $-9 + 2 = -7$ et « Résultat 2 » vaut $-9 - 1 = -10$ . Le programme multiplie les deux :

(-7) \times (-10) = 70

Le lutin dit « Le résultat est $70$ » : le résultat est $70$ .

2. On choisit un nombre quelconque $x$ comme nombre de départ.

2. a. Parmi les trois propositions ci-dessous, recopier l’expression qui donne le résultat obtenu par le programme B ?

E_1 = (x + 2) - 1 \qquad E_2 = (x + 2) \times (x - 1) \qquad E_3 = x + 2 \times x - 1

Corrigé

« Résultat 1 » vaut $x + 2$ , « Résultat 2 » vaut $x - 1$ , et la ligne 6 donne leur produit : c’est $E_2 = (x + 2) \times (x - 1)$ .

$E_1$ soustrait au lieu de multiplier. $E_3$ oublie les parenthèses : avec la priorité de la multiplication, $E_3 = x + 2x - 1 = 3x - 1$ , ce qui n’est pas le produit voulu (pour $x = -9$ , $E_3 = -28$ et non $70$ ).

2. b. Exprimer en fonction de $x$ le résultat obtenu avec le programme A

Corrigé

Les étapes donnent $x^2$ , puis $2x^2$ , puis $2x^2 + 2x$ , puis $2x^2 + 2x - 4$ .

Le résultat du programme A est $2x^2 + 2x - 4$ . (Pour $x = 5$ : $50 + 10 - 4 = 56$ , comme à la question 1. a.)

3. Démontrer que, quel que soit le nombre choisi au départ, le résultat du programme A est toujours le double du résultat du programme B.

Corrigé

On développe le résultat du programme B avec la double distributivité :

(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2

Son double vaut :

2(x^2 + x - 2) = 2x^2 + 2x - 4

C’est exactement le résultat du programme A, pour tout nombre $x$ : le résultat du programme A est toujours le double de celui du programme B.

Vérification avec $x = 5$ : le programme B donne $7 \times 4 = 28$ , et $2 \times 28 = 56$ .

Exercice 3 : cercle, Pythagore, Thalès et aires (22 points)

Sur la figure ci-dessous, on a :

$\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $4{,}5$ cm ;
$[AB]$ est un diamètre de ce cercle et $D$ est un point du cercle ;
les points $B$ , $E$ , $A$ sont alignés, ainsi que les points $D$ , $F$ , $A$ ;
les droites $(BD)$ et $(EF)$ sont parallèles ;
$BD = 5{,}4$ cm ; $DA = 7{,}2$ cm et $AE = 2{,}7$ cm.

Cercle C de centre O. Le diamètre [AB] est horizontal, B à gauche, A à droite ; O est au milieu, E entre O et A. D est sur le cercle, en haut, plus près de B que de A. Le triangle BDA est tracé ; F est sur [DA], et le segment [EF] est parallèle à [BD]

1. Justifier que le diamètre $[AB]$ mesure $9$ cm.

Corrigé

Un diamètre mesure le double du rayon :

AB = 2 \times 4{,}5 = 9 \text{ cm}

2. Démontrer que le triangle $ABD$ est rectangle en $D$ .

Corrigé

Le plus long côté du triangle $ABD$ est $[AB]$ . On compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :

AB^2 = 9^2 = 81 \qquad BD^2 + DA^2 = 5{,}4^2 + 7{,}2^2 = 29{,}16 + 51{,}84 = 81

On a $AB^2 = BD^2 + DA^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABD$ est rectangle en $D$ , le sommet opposé à $[AB]$ .

3. Calculer $AF$ .

Corrigé

Dans le triangle $ABD$ : $E$ est sur $[AB]$ , $F$ est sur $[AD]$ et les droites $(EF)$ et $(BD)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{EF}{BD} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{2{,}7}{9} = \dfrac{AF}{7{,}2}

AF = \dfrac{2{,}7 \times 7{,}2}{9} = \dfrac{19{,}44}{9} = 2{,}16 \text{ cm}

4. a. Justifier que l’aire du triangle $ABD$ est égale à $19{,}44 \text{ cm}^2$ .

Corrigé

Le triangle $ABD$ est rectangle en $D$ (question 2) : ses côtés de l’angle droit $[BD]$ et $[DA]$ sont une base et la hauteur associée.

\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{BD \times DA}{2} = \dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = \dfrac{38{,}88}{2} = 19{,}44 \text{ cm}^2

4. b. Calculer l’aire du disque, arrondie au centième.

Rappel : l’aire du disque est égale à $\pi \times R^2$ , où $R$ est le rayon du disque.

Corrigé

Le rayon est $R = 4{,}5$ cm :

\mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \approx 63{,}62 \text{ cm}^2

(La calculatrice affiche $63{,}617\ldots$ , qu’on arrondit au centième.)

5. Quel pourcentage de l’aire du disque représente l’aire du triangle $ABD$ ?

Corrigé

On divise l’aire du triangle par celle du disque :

\dfrac{19{,}44}{20{,}25\pi} \approx 0{,}306

L’aire du triangle $ABD$ représente environ $30{,}6$ % de l’aire du disque. (Avec la valeur arrondie $63{,}62$ , on trouve aussi $\dfrac{19{,}44}{63{,}62} \approx 0{,}306$ .)

Exercice 4 : QCM (18 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 2$ . Quelle est l’image de $-4$ par cette fonction ?

A	B	C
$-14$	$-10$	$-3$

Corrigé

f(-4) = 3 \times (-4) - 2 = -12 - 2 = -14

Réponse A. (La réponse B, $-10$ , vient de l’erreur $-12 + 2$ .)

Question 2

Combien vaut $(-5)^3$ ?

A	B	C
$-125$	$-15$	$125$

Corrigé

(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125

Un produit de trois facteurs négatifs est négatif. Réponse A. (La réponse B confond $(-5)^3$ avec $(-5) \times 3$ .)

Question 3

Quelle est l’image du point $J$ par la translation qui transforme $C$ en $A$ ?

Douze points marqués d’une croix sur un quadrillage, en trois rangées de quatre, régulièrement espacés. Rangée du haut, de gauche à droite : B, C, G, H. Rangée du milieu : A, D, J, I. Rangée du bas : F, E, L, K

A	B	C
$H$	$E$	$D$

Corrigé

Pour aller de $C$ à $A$ , on se déplace d’une colonne vers la gauche et d’une rangée vers le bas. On applique le même déplacement à $J$ : une colonne vers la gauche donne la position de $D$ , une rangée vers le bas celle de $E$ .

L’image de $J$ est $E$ (le quadrilatère $CAEJ$ est bien un parallélogramme). Réponse B.

Question 4

Quel est l’antécédent de $3$ par la fonction $f$ ?

Repère quadrillé, abscisses de −1 à 5, ordonnées de −3 à 4. La droite Cf descend : elle passe par les points (0 ; 3), (1 ; 1), (2 ; −1) et (3 ; −3)

A	B	C
$3$	$-3$	$0$

Corrigé

On cherche l’abscisse du point de $\mathcal{C}_f$ d’ordonnée $3$ . On part de $3$ sur l’axe des ordonnées : la droite y passe justement, au point de coordonnées $(0 \;;\; 3)$ . Donc $f(0) = 3$ , et l’antécédent de $3$ est $0$ .

Réponse C. (Piège : la droite passe aussi par $(3 \;;\; -3)$ , donc $f(3) = -3$ . C’est l’image de $3$ , pas son antécédent.)

Question 5

On a mesuré les tailles, en m, de sept élèves :

$1{,}46 \;;\; 1{,}65 \;;\; 1{,}6 \;;\; 1{,}72 \;;\; 1{,}7 \;;\; 1{,}67 \;;\; 1{,}75$

Quelle est la médiane, en m, de ces tailles ?

A	B	C
$1{,}72$	$1{,}67$	$1{,}65$

Corrigé

On range les tailles dans l’ordre croissant :

1{,}46 \;;\; 1{,}6 \;;\; 1{,}65 \;;\; \mathbf{1{,}67} \;;\; 1{,}7 \;;\; 1{,}72 \;;\; 1{,}75

L’effectif est $7$ , impair : la médiane est la $4^{\text{e}}$ valeur (trois avant, trois après), soit $1{,}67$ m. Réponse B. (La réponse A, $1{,}72$ , est la valeur du milieu de la liste non rangée.)

Question 6

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, quelle est la valeur de $\cos \alpha$ ?

Triangle ABC rectangle en A, avec AC = 3, AB = 4 et BC = 5 ; l’angle α est marqué au sommet B

A	B	C
$0{,}8$	$0{,}75$	$0{,}6$

Corrigé

L’angle $\alpha$ est en $B$ . Dans le triangle rectangle en $A$ , l’hypoténuse est $[BC]$ et le côté adjacent à $\alpha$ est $[AB]$ :

\cos \alpha = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8

Réponse A. ( $0{,}6 = \dfrac{3}{5}$ est $\sin \alpha$ et $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$ est $\tan \alpha$ .)

Exercice 5 : diviseurs communs et volume d’un pavé (20 points)

Un club de natation propose un après-midi découverte pour les enfants.

Partie A

La présidente du club veut offrir des petits sachets cadeaux tous identiques contenant des autocollants et des drapeaux avec le logo du club. Elle a acheté $330$ autocollants et $132$ drapeaux et veut tous les utiliser. Elle veut que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre d’autocollants et que, dans chaque sachet, il y ait exactement le même nombre de drapeaux.

1. Pourquoi n’est-il pas possible de faire $15$ sachets ?

Corrigé

Pour faire $15$ sachets identiques en utilisant tout, il faudrait que $15$ divise à la fois $330$ et $132$ .

Pour les autocollants, c’est possible : $330 = 15 \times 22$ . Mais pour les drapeaux, $132 \div 15 = 8{,}8$ n’est pas un nombre entier ( $132$ ne se termine ni par $0$ ni par $5$ , il n’est pas divisible par $5$ , donc pas par $15$ ).

On ne peut pas répartir les $132$ drapeaux en $15$ parts égales : $15$ sachets, c’est impossible.

2. a. Décomposer $330$ et $132$ en produits de facteurs premiers.

Corrigé

330 = 2 \times 165 = 2 \times 3 \times 55 = 2 \times 3 \times 5 \times 11

132 = 2 \times 66 = 2 \times 2 \times 33 = 2^2 \times 3 \times 11

2. b. En déduire le plus grand nombre de sachets que la présidente pourra réaliser.

Corrigé

Le nombre de sachets doit diviser $330$ et $132$ : c’est un diviseur commun. Le plus grand diviseur commun est le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant : $2$ , $3$ et $11$ .

2 \times 3 \times 11 = 66

La présidente pourra réaliser au plus $66$ sachets.

2. c. Dans ce cas, combien mettra-t-elle d’autocollants et de drapeaux dans chaque sachet ?

Corrigé

330 \div 66 = 5 \qquad 132 \div 66 = 2

Chaque sachet contiendra $5$ autocollants et $2$ drapeaux. (On le retrouve avec les décompositions : $330 = 66 \times 5$ et $132 = 66 \times 2$ .)

Partie B

La piscine a la forme d’un pavé droit représenté ci-dessous.

Pavé droit en perspective : longueur 25 m (arête fuyante), largeur 15 m, profondeur 2 m ; les arêtes cachées sont en pointillés

Elle est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ du volume.

$1 \text{ m}^3$ d’eau coûte $4{,}14$ €.

Combien coûte le remplissage de la piscine ?

Corrigé

Volume du pavé droit (longueur × largeur × hauteur) :

V = 25 \times 15 \times 2 = 750 \text{ m}^3

La piscine est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ de ce volume :

\dfrac{9}{10} \times 750 = 675 \text{ m}^3

Chaque mètre cube coûte $4{,}14$ € :

675 \times 4{,}14 = 2\,794{,}5

Le remplissage de la piscine coûte $2\,794{,}50$ €.

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