Brevet · session 2024 · Centres étrangers (groupe 1), série générale

Brevet 2024 de maths (centres étrangers, groupe 1) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2024, centres étrangers du groupe 1 (24GENMATG11) : QCM, circuits et facteurs premiers, programme de calcul et Scratch, Thalès, cône.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2024). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient. L’annexe (exercice 3, partie A, question 3 et exercice 5, question 3) est à rendre avec la copie : elle est reprise ici dans les questions concernées.

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : QCM (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Question 1

Donner l’écriture scientifique de $0{,}193 \times 10^{-100}$ .

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$1{,}93 \times 10^{-99}$	$1{,}93 \times 10^{-101}$	$193 \times 10^{-103}$	$193 \times 10^{-97}$

Corrigé

$0{,}193 = 1{,}93 \times 10^{-1}$ , donc :

0{,}193 \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-1} \times 10^{-100} = 1{,}93 \times 10^{-101}

Réponse B. La réponse C est égale au même nombre, mais ce n’est pas une écriture scientifique : $193$ n’est pas compris entre $1$ et $10$ .

Question 2

Lili part en vacances, elle parcourt $480$ km en $5$ h $42$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au dixième ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$88{,}6$	$84{,}2$	$1{,}4$	$23{,}4$

Corrigé

On convertit la durée en heures : $42 \text{ min} = \dfrac{42}{60} \text{ h} = 0{,}7 \text{ h}$ , donc $5 \text{ h } 42 \text{ min} = 5{,}7 \text{ h}$ .

v = \dfrac{480}{5{,}7} \approx 84{,}2 \text{ km/h}

Réponse B. Le piège est la réponse A : $480 \div 5{,}42 \approx 88{,}6$ , mais $5$ h $42$ min ne vaut pas $5{,}42$ h.

Question 3

Sam fait tourner la roue ci-dessous et regarde le nombre désigné par la flèche, qui peut être $1$ ou $2$ . On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.

Le nombre écrit dans un des secteurs a été effacé. Est-il possible d’écrire un nombre dans ce secteur de sorte que la probabilité que la flèche désigne le nombre $2$ soit égale à $\dfrac{3}{5}$ ?

Roue de 15 secteurs égaux, une flèche en haut. En partant du secteur désigné par la flèche et en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre : 2, secteur vide, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2. Il y a 8 secteurs marqués 2, 6 marqués 1 et un secteur effacé

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
Oui, en écrivant le nombre $1$	Oui, en écrivant le nombre $2$	Ce n’est pas possible	Oui, en laissant le secteur vide

Corrigé

La roue compte $15$ secteurs : $8$ portent le nombre $2$ , $6$ portent le nombre $1$ et un est effacé.

Pour que la probabilité de désigner $2$ soit $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$ , il faut $9$ secteurs marqués $2$ : on écrit $2$ dans le secteur effacé.

Réponse B. En écrivant $1$ ou en laissant le secteur vide, la probabilité reste $\dfrac{8}{15}$ , différente de $\dfrac{9}{15}$ .

Question 4

On considère la liste de nombres suivante : $5 \;;\; 1 \;;\; 3 \;;\; 10 \;;\; 17 \;;\; 11 \;;\; 10$ . Pour cette liste de nombres, que représente le nombre $5$ ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
La médiane	L’étendue	La moyenne	Rien de particulier

Corrigé

On range la liste dans l’ordre croissant : $1 \;;\; 3 \;;\; 5 \;;\; 10 \;;\; 10 \;;\; 11 \;;\; 17$ .

Médiane : il y a $7$ valeurs, c’est la $4^{\text{e}}$ , soit $10$ .
Étendue : $17 - 1 = 16$ .
Moyenne : $\dfrac{1 + 3 + 5 + 10 + 10 + 11 + 17}{7} = \dfrac{57}{7} \approx 8{,}14$ .

Aucune ne vaut $5$ : réponse D, rien de particulier.

Question 5

Léa achète un vélo électrique. Pour le réserver, elle paye $\dfrac{1}{5}$ du prix au magasin. Le magasin lui propose de payer le reste en trois paiements d’un même montant. Quelle fraction du prix du vélo représente l’un de ces trois paiements ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
$\dfrac{12}{5}$	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{3}{5}$

Corrigé

Il reste à payer $1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}$ du prix, partagés en trois paiements égaux :

\dfrac{4}{5} \div 3 = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{15}

Réponse C. Vérification : $\dfrac{1}{5} + 3 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{12}{15} = 1$ .

Exercice 2 : circuits d’entraînement et facteurs premiers (20 points)

Un entraîneur de sport prépare deux circuits d’entraînement contenant plusieurs exercices de cardio et de renforcement musculaire :

un circuit commence à l’exercice 1 et se termine en revenant à l’exercice 1 ;
le circuit 1 contient cinq exercices. Chaque exercice dure $40$ secondes et doit être suivi de $16$ secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant ;
le circuit 2 contient dix exercices. Chaque exercice dure $30$ secondes et doit être suivi de $5$ secondes de repos permettant de se rendre à l’exercice suivant.

Circuit 1 : pentagone dont les sommets sont les exercices Ex1 à Ex5, Ex1 en haut marqué Départ/Arrivée. Circuit 2 : décagone dont les sommets sont les exercices Ex1 à Ex10, Ex1 en haut marqué Départ/Arrivée

1. Montrer que le circuit 1 s’effectue en $280$ secondes et que le circuit 2 s’effectue en $350$ secondes.

Corrigé

Chaque exercice est suivi de son temps de repos, y compris le dernier, puisqu’il faut revenir à l’exercice 1.

Circuit 1 : $5 \times (40 + 16) = 5 \times 56 = 280$ secondes.
Circuit 2 : $10 \times (30 + 5) = 10 \times 35 = 350$ secondes.

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $280$ et de $350$ .

Corrigé

$280 = 2 \times 140 = 2 \times 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 7$ , donc :

280 = 2^3 \times 5 \times 7

$350 = 2 \times 175 = 2 \times 5 \times 35 = 2 \times 5 \times 5 \times 7$ , donc :

350 = 2 \times 5^2 \times 7

3. Une séance d’entraînement est constituée de plusieurs tours du même circuit. Au coup de sifflet de l’entraîneur, Camille commence une séance d’entraînement sur le circuit 1 et Dominique sur le circuit 2.

3. a. Expliquer pourquoi, lorsque $2\,800$ secondes se sont écoulées à partir du coup de sifflet, Camille se trouve de nouveau au départ du circuit 1. Préciser où se trouve Dominique sur le circuit 2 lorsque $2\,800$ secondes se sont écoulées.

Corrigé

Camille revient au départ toutes les $280$ secondes. Or $2\,800 = 10 \times 280$ : au bout de $2\,800$ secondes, elle vient de terminer son $10^{\text{e}}$ tour, elle est donc au départ du circuit 1.

Dominique revient au départ toutes les $350$ secondes. Or $2\,800 = 8 \times 350$ : au bout de $2\,800$ secondes, Dominique vient de terminer son $8^{\text{e}}$ tour et se trouve donc aussi au départ du circuit 2 (exercice 1).

3. b. Après le coup de sifflet, combien de temps faut-il à Camille et Dominique pour se retrouver en même temps pour la première fois au départ de leur circuit ? Exprimer cette durée en minute et seconde.

Corrigé

Camille est au départ aux multiples de $280$ , Dominique aux multiples de $350$ . On cherche le plus petit multiple commun non nul de $280$ et $350$ . Avec les décompositions de la question 2, on prend chaque facteur premier avec sa plus grande puissance :

2^3 \times 5^2 \times 7 = 8 \times 25 \times 7 = 1\,400

On le vérifie avec les listes de multiples : $280$ , $560$ , $840$ , $1\,120$ , $1\,400$ d’un côté, $350$ , $700$ , $1\,050$ , $1\,400$ de l’autre. Le premier nombre commun est bien $1\,400$ ( $5$ tours pour Camille, $4$ pour Dominique). Les $2\,800$ secondes de la question 3. a. sont aussi un moment commun, mais pas le premier.

$1\,400 = 23 \times 60 + 20$ : ils se retrouvent au départ pour la première fois au bout de $23$ min $20$ s.

Exercice 3 : programme de calcul, Scratch et fonction (20 points)

On considère le programme de calcul suivant :

Programme de calcul : choisir un nombre ; d’un côté soustraire 2, de l’autre ajouter 1 ; multiplier les deux résultats pour obtenir le résultat final

Partie A

1. Justifier qu’en choisissant $5$ comme nombre de départ, le résultat final obtenu est $18$ .

Corrigé

$5 - 2 = 3$ et $5 + 1 = 6$ , puis $3 \times 6 = 18$ . Le résultat final est bien $18$ .

2. Calculer le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est $-\dfrac{3}{2}$ .

Corrigé

-\dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{7}{2} \qquad -\dfrac{3}{2} + 1 = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{2} = -\dfrac{1}{2}

\left(-\dfrac{7}{2}\right) \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{4}

Le résultat final est $\dfrac{7}{4}$ , soit $1{,}75$ (produit de deux nombres négatifs, il est positif).

3. Le script ci-dessous, écrit avec un logiciel de programmation, correspond au programme de calcul ci-dessus. Compléter les lignes 3, 4 et 5 du script (sur l’annexe, à rendre avec la copie). Aucune justification n’est attendue.

1  quand le drapeau est cliqué
2  demander [choisir un nombre] et attendre
3  mettre [a] à ((réponse) - (.....))
4  mettre [b] à ((réponse) + (.....))
5  dire ((.....) * (.....)) pendant (2) secondes

Corrigé

1  quand le drapeau est cliqué
2  demander [choisir un nombre] et attendre
3  mettre [a] à ((réponse) - (2))
4  mettre [b] à ((réponse) + (1))
5  dire ((a) * (b)) pendant (2) secondes

La variable a contient le nombre choisi moins $2$ , la variable b le nombre choisi plus $1$ , et le programme dit leur produit.

Partie B

Soit la fonction $g$ définie, pour un nombre $x$ donné, par $g(x) = x^2 - x - 2$ .

1. Prouver que $(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$ .

Corrigé

On développe avec la double distributivité :

(x - 2)(x + 1) = x \times x + x \times 1 - 2 \times x - 2 \times 1 = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2

2. a. Résoudre l’équation $(x - 2)(x + 1) = 0$ .

Corrigé

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

x - 2 = 0 \quad\text{ou}\quad x + 1 = 0 \qquad\text{donc}\qquad x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -1

L’équation a deux solutions : $-1$ et $2$ .

2. b. En déduire les antécédents de $0$ par la fonction $g$ . Aucune justification n’est attendue.

Corrigé

D’après la question 1, $g(x) = (x - 2)(x + 1)$ . Les antécédents de $0$ par $g$ sont donc les solutions de la question 2. a. : $-1$ et $2$ .

3. Parmi les trois graphiques ci-dessous, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction $g$ ? Aucune justification n’est attendue.

Trois graphiques pour x entre −2 et 2. Graphique 1 : droite descendante qui passe par (0 ; 2) et (2 ; 0). Graphique 2 : droite montante qui passe par (−1 ; 0) et (0 ; 2). Graphique 3 : courbe en U qui coupe l’axe des abscisses en −1 et en 2, et l’axe des ordonnées en −2

Corrigé

Graphique 3. Les graphiques 1 et 2 sont des droites, qui représentent des fonctions affines, alors que $g(x)$ contient un terme en $x^2$ . Le graphique 3 coupe l’axe des abscisses en $-1$ et en $2$ , les antécédents de $0$ trouvés à la question 2. b., et passe par $(0 \,;\, -2)$ , comme $g(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2$ .

4. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne $0$ comme résultat final ?

Corrigé

Avec $x$ comme nombre de départ, le programme calcule $x - 2$ et $x + 1$ , puis leur produit : le résultat final est $(x - 2)(x + 1)$ , c’est-à-dire $g(x)$ .

Il vaut $0$ quand $x = 2$ ou $x = -1$ (question 2. a.). On doit choisir $2$ ou $-1$ . Vérification : $(2 - 2) \times (2 + 1) = 0 \times 3 = 0$ et $(-1 - 2) \times (-1 + 1) = -3 \times 0 = 0$ .

Exercice 4 : Pythagore, trigonométrie et Thalès (16 points)

Sur la figure ci-dessous :

les points $E$ , $A$ et $F$ sont alignés ;
les points $E$ , $B$ et $D$ sont alignés ;
les droites $(FD)$ et $(AB)$ sont parallèles ;
$AE = 4{,}4$ cm ; $EB = 3{,}3$ cm ; $AB = 5{,}5$ cm et $BD = 6{,}6$ cm.

Les points E, A et F sont alignés sur un segment vertical, A entre E et F ; les points E, B et D sont alignés sur un segment horizontal, B entre E et D ; les segments [AB] et [FD] sont parallèles. La figure n’est pas en grandeur réelle

1. Démontrer que le triangle $ABE$ est rectangle.

Corrigé

Le plus long côté du triangle $ABE$ est $[AB]$ . On compare :

AB^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25 \qquad AE^2 + EB^2 = 4{,}4^2 + 3{,}3^2 = 19{,}36 + 10{,}89 = 30{,}25

$AB^2 = AE^2 + EB^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABE$ est rectangle en $E$ .

2. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ABE}$ , arrondie au degré.

Corrigé

Le triangle $ABE$ est rectangle en $E$ : l’hypoténuse est $[AB]$ et, pour l’angle $\widehat{ABE}$ , le côté adjacent est $[EB]$ .

\cos(\widehat{ABE}) = \dfrac{EB}{AB} = \dfrac{3{,}3}{5{,}5} = 0{,}6 \qquad\text{donc}\qquad \widehat{ABE} \approx 53°

(À la calculatrice, $\arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$ .)

3. Calculer la longueur $FD$ .

Corrigé

$B$ est entre $E$ et $D$ , donc $ED = EB + BD = 3{,}3 + 6{,}6 = 9{,}9$ cm.

Les points $E$ , $A$ , $F$ d’une part et $E$ , $B$ , $D$ d’autre part sont alignés, et les droites $(AB)$ et $(FD)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{EA}{EF} = \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{AB}{FD} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{3{,}3}{9{,}9} = \dfrac{5{,}5}{FD}

FD = \dfrac{5{,}5 \times 9{,}9}{3{,}3} = 5{,}5 \times 3 = 16{,}5 \text{ cm}

4. Une homothétie de centre $E$ transforme le triangle $EAB$ en le triangle $EFD$ . Quel est le rapport de cette homothétie ? Aucune justification n’est attendue.

Corrigé

Le rapport est $3$ : $\dfrac{ED}{EB} = \dfrac{9{,}9}{3{,}3} = 3$ (et $\dfrac{FD}{AB} = \dfrac{16{,}5}{5{,}5} = 3$ ). Il est positif, car $D$ est du même côté de $E$ que $B$ , et $F$ du même côté que $A$ .

Exercice 5 : cône, patron et volume (24 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Léo veut fabriquer un chapeau en forme de cône pour se déguiser en sorcier lors de la fête d’Halloween. Voici la représentation de ce chapeau en perspective cavalière. Le rayon $OM$ de la base de ce cône mesure $9$ cm et la hauteur $OS$ mesure $30$ cm.

Cône de sommet S, de base le disque de centre O ; M est un point du cercle de base ; la hauteur [OS] est en pointillés, avec un angle droit en O entre [OS] et [OM]

1. Démontrer que la longueur $MS$ , arrondie au dixième de centimètre, est $31{,}3$ cm.

Corrigé

Le triangle $SOM$ est rectangle en $O$ (la hauteur est perpendiculaire à la base). D’après le théorème de Pythagore :

MS^2 = OM^2 + OS^2 = 9^2 + 30^2 = 81 + 900 = 981

MS = \sqrt{981} \approx 31{,}3 \text{ cm}

2. Léo souhaite vérifier que le chapeau sera adapté à son tour de tête qui mesure $56$ cm. Les dimensions choisies pour concevoir le chapeau sont-elles adaptées au tour de tête de Léo ?

Corrigé

Le tour du chapeau est le périmètre du cercle de base, de rayon $9$ cm :

2 \times \pi \times 9 = 18\pi \approx 56{,}5 \text{ cm}

$56{,}5$ cm est un peu plus que les $56$ cm de son tour de tête : le chapeau entre sur sa tête, avec environ un demi-centimètre de marge. Les dimensions sont adaptées.

3. Léo a représenté ci-dessous le patron de son chapeau. Il a reporté dessus les mesures des longueurs qu’il connaît et nommé $\overset{\frown}{M'M}$ l’arc de cercle de longueur $56{,}5$ cm.

Patron du chapeau : secteur de disque de centre S, limité par les rayons [SM′] et [SM] de 31,3 cm et par l’arc M′M de 56,5 cm

3. a. Démontrer que la longueur du cercle de centre $S$ et de rayon $SM$ , arrondie au dixième de centimètre, est égale à $196{,}7$ cm.

Corrigé

Avec le rayon $SM = 31{,}3$ cm reporté sur le patron :

2 \times \pi \times 31{,}3 = 62{,}6\pi \approx 196{,}7 \text{ cm}

Remarque. Le résultat attendu suppose qu’on calcule avec la valeur arrondie $31{,}3$ cm. Avec la valeur exacte $SM = \sqrt{981}$ , on trouverait $2\pi\sqrt{981} \approx 196{,}8$ cm. Cela ne change pas l’angle de la question 3. c., arrondi au degré.

Pour dessiner en grandeur réelle son chapeau, il a besoin de calculer la mesure de l’angle $\widehat{M'SM}$ qui est proportionnelle à la longueur de l’arc de cercle $\overset{\frown}{M'M}$ . Il décide de représenter cette situation par le tableau de proportionnalité suivant (sur l’annexe, à rendre avec la copie).

Mesure de l’angle $\widehat{M'SM}$ (en degré)	$360$	……
Longueur de l’arc $\overset{\frown}{M'M}$ (en centimètre, valeur arrondie au dixième de centimètre)	……	$56{,}5$

3. b. Placer la valeur $196{,}7$ obtenue à la question précédente dans le tableau.

Corrigé

L’angle de $360°$ correspond au cercle entier, dont la longueur est $196{,}7$ cm :

Mesure de l’angle $\widehat{M'SM}$ (en degré)	$360$	……
Longueur de l’arc $\overset{\frown}{M'M}$ (en centimètre)	$196{,}7$	$56{,}5$

3. c. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{M'SM}$ correspondant à une longueur d’arc de $56{,}5$ cm qui permettra à Léo de tracer le patron de son chapeau. Donner le résultat arrondi au degré.

Corrigé

Par proportionnalité (produit en croix) :

\widehat{M'SM} = \dfrac{360 \times 56{,}5}{196{,}7} = \dfrac{20\,340}{196{,}7} \approx 103{,}4°

L’angle mesure environ $103°$ .

Partie B

On rappelle que la hauteur du chapeau mesure $30$ cm.

Le chapeau retourné, pointe en bas : rayon de l’ouverture 9 cm, hauteur 30 cm ; la partie basse, grisée, est remplie de bonbons jusqu’à 15 cm de hauteur

1. Montrer que le volume total du chapeau, arrondi au $\text{cm}^3$ , est de $2\,545 \text{ cm}^3$ .

On rappelle que la formule du volume d’un cône de rayon $R$ et de hauteur $h$ est : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

Corrigé

V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 9^2 \times 30 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 81 \times 30 = 810\pi \approx 2\,545 \text{ cm}^3

(À la calculatrice, $810\pi \approx 2\,544{,}7$ .)

2. Léo décide d’utiliser son chapeau pour transporter les bonbons qu’il a récoltés pendant la fête d’Halloween. En arrivant chez lui, il constate que les bonbons atteignent le milieu de la hauteur de son chapeau. Il estime que sa récolte de bonbons n’a pas été bonne car il pense que le volume occupé par les bonbons représente moins de $15\ \%$ du volume total de son chapeau. Son estimation est-elle correcte ?

Corrigé

Les bonbons occupent un petit cône, de même sommet (la pointe du chapeau) et de hauteur $15$ cm, moitié de $30$ cm. C’est une réduction du chapeau de rapport $\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}$ : son rayon est $9 \div 2 = 4{,}5$ cm.

V_{\text{bonbons}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4{,}5^2 \times 15 = 101{,}25\pi \approx 318{,}1 \text{ cm}^3

\dfrac{101{,}25\pi}{810\pi} = 0{,}125 = 12{,}5\ \%

On le retrouve sans calcul de volume : dans une réduction de rapport $\dfrac{1}{2}$ , les volumes sont multipliés par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ .

$12{,}5\ \% < 15\ \%$ : son estimation est correcte. Les bonbons remplissent la moitié de la hauteur, mais seulement un huitième du volume.

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