Brevet · session 2024 · Amérique du Nord, série générale

Brevet 2024 de maths (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2024, Amérique du Nord (24GENMATAN1) : vrai ou faux, programme de calcul, fonctions et tarifs, Pythagore et volumes, Scratch.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2024). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

Indication portant sur l’ensemble du sujet : toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : vrai ou faux (20 points)

Voici cinq affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.

On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

1) Voici les prix en euros d’un vêtement relevés dans différents magasins.

12 \;;\; 15 \;;\; 10 \;;\; 7 \;;\; 13

Affirmation A : La moyenne des prix est $11{,}40$ €.

Corrigé

Il y a $5$ prix :

\dfrac{12 + 15 + 10 + 7 + 13}{5} = \dfrac{57}{5} = 11{,}4

La moyenne des prix est bien $11{,}40$ € : l’affirmation A est vraie.

Affirmation B : La médiane des prix est $10$ €.

Corrigé

On range les prix dans l’ordre croissant : $7 \;;\; 10 \;;\; 12 \;;\; 13 \;;\; 15$ . Il y a $5$ valeurs (nombre impair) : la médiane est la $3^{\text{e}}$ , soit $12$ €.

La médiane est $12$ €, et non $10$ € : l’affirmation B est fausse. ( $10$ est la $3^{\text{e}}$ valeur de la liste non rangée : il faut toujours ranger les valeurs d’abord.)

2) Lors d’un entraînement, une élève court $20$ m en $6$ secondes.

Affirmation C : Lors de cet entraînement, sa vitesse moyenne était de $14$ km/h.

Corrigé

À cette vitesse, en $1$ heure, soit $3\,600$ secondes, l’élève parcourrait $\dfrac{3\,600}{6} = 600$ fois plus de distance qu’en $6$ secondes :

20 \times 600 = 12\,000 \text{ m} = 12 \text{ km}

Sa vitesse moyenne était de $12$ km/h, et non $14$ km/h : l’affirmation C est fausse.

3) Une urne contient $15$ boules indiscernables numérotées de $1$ à $15$ .

Affirmation D : La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est $\dfrac{7}{15}$ .

Corrigé

Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Entre $1$ et $15$ , les nombres premiers sont $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ et $13$ , soit $6$ nombres ( $1$ n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur).

Les boules sont indiscernables, chacune a la même chance d’être tirée :

P(\text{nombre premier}) = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}

La probabilité vaut $\dfrac{6}{15}$ , et non $\dfrac{7}{15}$ : l’affirmation D est fausse.

4) Le triangle $A'B'C'$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $(-3)$ .

Triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 6 cm et BC = 9 cm, point O près de C ; triangle A’B’C’, plus grand et retourné, avec A’B’ = 15 cm, A’C’ = 18 cm et B’C’ = 27 cm

Le dessin n’est pas à l’échelle.

Affirmation E : L’aire du triangle $A'B'C'$ est égale à $3$ fois l’aire du triangle $ABC$ .

Corrigé

Une homothétie de rapport $-3$ multiplie les longueurs par $3$ (la valeur absolue du rapport ; le signe moins indique seulement que la figure est retournée de l’autre côté du centre $O$ ). On le voit sur les mesures : $A'B' = 15 = 3 \times 5$ , $A'C' = 18 = 3 \times 6$ et $B'C' = 27 = 3 \times 9$ .

Quand les longueurs sont multipliées par $3$ , les aires sont multipliées par $3^2 = 9$ . L’aire du triangle $A'B'C'$ est donc égale à $9$ fois l’aire du triangle $ABC$ : l’affirmation E est fausse.

Exercice 2 : programme de calcul (20 points)

Voici un programme de calcul :

Programme de calcul : à partir du nombre choisi au départ, d’un côté ajouter 2 puis multiplier par 4, de l’autre multiplier par 5 puis soustraire 3 ; multiplier les deux nombres obtenus pour avoir le résultat à l’arrivée

1) Montrer que si on choisit $2$ comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est $112$ .

Corrigé

À gauche : $2 + 2 = 4$ , puis $4 \times 4 = 16$ .
À droite : $2 \times 5 = 10$ , puis $10 - 3 = 7$ .

On multiplie les deux nombres obtenus : $16 \times 7 = 112$ . Le résultat à l’arrivée est bien $112$ .

2) Quel est le résultat obtenu à l’arrivée quand on choisit $-3$ comme nombre de départ ?

Corrigé

À gauche : $-3 + 2 = -1$ , puis $-1 \times 4 = -4$ .
À droite : $-3 \times 5 = -15$ , puis $-15 - 3 = -18$ .

$(-4) \times (-18) = 72$ (le produit de deux nombres négatifs est positif). Le résultat à l’arrivée est $72$ .

3) On choisit $x$ comme nombre de départ.

Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d’exprimer le résultat à l’arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n’est demandée.

Expression A	Expression B	Expression C	Expression D
$(x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3)$	$(4x + 2)(5x - 3)$	$(4x + 8)(5x - 3)$	$(x + 2) \times 4 \times (5x - 3)$

Corrigé

Les expressions C et D.

À gauche, on obtient $(x + 2) \times 4 = 4x + 8$ ; à droite, $5x - 3$ . Le résultat est donc $(x + 2) \times 4 \times (5x - 3)$ (expression D), qui s’écrit aussi $(4x + 8)(5x - 3)$ (expression C).

L’expression A ne convient pas : $x + 2 \times 4 = x + 8$ , la multiplication par $4$ ne porte que sur $2$ . L’expression B non plus : $4x + 2$ revient à multiplier $x$ par $4$ avant d’ajouter $2$ , alors que le programme ajoute $2$ d’abord.

4) Trouver les deux nombres de départ qui permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée. Expliquer la démarche.

Corrigé

D’après la question 3, avec le nombre de départ $x$ , le résultat est $(4x + 8)(5x - 3)$ . On résout l’équation :

(4x + 8)(5x - 3) = 0

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

$4x + 8 = 0$ , soit $4x = -8$ et $x = -2$ ;
ou $5x - 3 = 0$ , soit $5x = 3$ et $x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ .

Les deux nombres de départ cherchés sont $-2$ et $0{,}6$ .

Vérification : avec $-2$ , la branche de gauche donne $(-2 + 2) \times 4 = 0$ , donc le produit est nul ; avec $0{,}6$ , la branche de droite donne $0{,}6 \times 5 - 3 = 0$ .

5) Développer et réduire l’expression B.

Corrigé

On utilise la double distributivité :

(4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3)

= 20x^2 - 12x + 10x - 6 = 20x^2 - 2x - 6

Exercice 3 : tarifs de cinéma, fonctions et lecture graphique (20 points)

Un cinéma propose trois tarifs :

Tarif « Classique » : La personne paye chaque entrée $11$ €.
Tarif « Essentiel » : La personne paye un abonnement annuel de $50$ € puis chaque entrée coûte $5$ €.
Tarif « Liberté » : La personne paye un abonnement annuel de $240$ € avec un nombre d’entrées illimité.

1) Avec le tarif « Classique », une personne souhaite acheter trois entrées au cinéma. Combien va-t-elle payer ?

Corrigé

$3 \times 11 = 33$ . Elle va payer $33$ €.

2) Avec le tarif « Essentiel », une personne souhaite aller huit fois au cinéma. Montrer qu’elle va payer $90$ €.

Corrigé

Elle paye l’abonnement, puis $8$ entrées à $5$ € :

50 + 8 \times 5 = 50 + 40 = 90

Elle va bien payer $90$ €.

3) Dans la suite, $x$ désigne le nombre d’entrées au cinéma.

On considère les trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ suivantes :

f : x \mapsto 50 + 5x \qquad g : x \mapsto 240 \qquad h : x \mapsto 11x

Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.

Corrigé

$f$ correspond au tarif « Essentiel » ( $50$ € d’abonnement, plus $5$ € par entrée) ;
$g$ correspond au tarif « Liberté » ( $240$ € quel que soit le nombre d’entrées) ;
$h$ correspond au tarif « Classique » ( $11$ € par entrée).

Le graphique ci-dessous représente le prix à payer en fonction du nombre d’entrées pour chacun de ces trois tarifs.

Graphique du prix à payer (en euros, de 0 à 280) en fonction du nombre d’entrées (de 0 à 46) : la droite (d1) part de l’origine et monte fortement ; la droite (d2) part de 50 € et monte moins vite, elle coupe (d1) vers 8 entrées ; la droite (d3) est horizontale à 240 € et coupe (d2) à 38 entrées

La droite $(d_1)$ représente la fonction correspondant au tarif « Classique ».
La droite $(d_2)$ représente la fonction correspondant au tarif « Essentiel ».
La droite $(d_3)$ représente la fonction correspondant au tarif « Liberté ».

4) Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d’entrées ?

Corrigé

C’est le tarif « Classique » : le prix $h(x) = 11x$ s’obtient en multipliant le nombre d’entrées par $11$ . Sa représentation $(d_1)$ est une droite qui passe par l’origine du repère.

Les deux autres ne le sont pas : avec $0$ entrée, on paye déjà $50$ € (« Essentiel ») ou $240$ € (« Liberté »).

5) Pour les questions suivantes, aucune justification n’est attendue.

a. Avec $150$ €, combien peut-on acheter d’entrées au maximum avec le tarif « Essentiel » ?

Corrigé

$20$ entrées.

Sur le graphique, la droite $(d_2)$ atteint $150$ € pour $20$ entrées. Par le calcul : $50 + 5x = 150$ donne $5x = 100$ , soit $x = 20$ .

b. À partir de combien d’entrées, le tarif « Liberté » devient-il le tarif le plus intéressant ?

Corrigé

À partir de $39$ entrées.

Au-delà de $8$ entrées, le tarif « Essentiel » est moins cher que le tarif « Classique » : c’est donc lui que le tarif « Liberté » doit battre. Les droites $(d_2)$ et $(d_3)$ se coupent pour $38$ entrées : $50 + 5 \times 38 = 240$ . Pour $38$ entrées, les tarifs « Essentiel » et « Liberté » coûtent tous les deux $240$ € ; dès $39$ entrées, le tarif « Essentiel » coûte $245$ € ou plus, et le tarif « Liberté » devient le moins cher.

c. Si on décide de ne pas dépasser un budget de $200$ €, quel est le tarif qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées ?

Corrigé

Le tarif « Essentiel ».

« Liberté » : impossible, l’abonnement coûte $240$ €, plus que $200$ €.
« Classique » : $11 \times 18 = 198$ et $11 \times 19 = 209$ , donc $18$ entrées au plus.
« Essentiel » : $50 + 5x = 200$ donne $x = 30$ , donc $30$ entrées.

Sur le graphique, la droite $(d_2)$ atteint $200$ € pour $30$ entrées, la droite $(d_1)$ pour un peu plus de $18$ entrées.

Exercice 4 : terrasse, Pythagore, volume et ratio (21 points)

M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de $15$ cm. Les représentations ci-dessous ne sont pas à l’échelle.

Vue en perspective de la terrasse

Vue en perspective de la terrasse, un prisme droit de hauteur 15 cm : face supérieure EJGH, avec F sur [EJ] et le segment [GF] tracé ; face inférieure A, D, I, C, D (deux sommets portent la lettre D) ; IJ = 15 cm

Rappel : le volume d’un prisme est donné par la formule : $V = \text{Aire}_{\text{base}} \times \text{Hauteur}$ .

Vue de dessus de la terrasse

Vue de dessus : le rectangle EFGH, avec HG = 6 m et HE = 3 m, prolongé par le triangle FGJ rectangle en F ; E, F et J alignés, EJ = 10 m

1) Montrer que $FJ = 4$ m.

Corrigé

$EFGH$ est un rectangle, donc ses côtés opposés ont la même longueur : $EF = HG = 6$ m. Les points $E$ , $F$ et $J$ sont alignés, avec $F$ entre $E$ et $J$ :

FJ = EJ - EF = 10 - 6 = 4 \text{ m}

Remarque : sur la vue en perspective du sujet, deux sommets de la base portent la même lettre $D$ (sous $H$ et sous $F$ ). Cette coquille ne gêne pas : aucune question n’utilise ces points.

2) Afin de pouvoir couler le béton, M. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?

Corrigé

Il faut le périmètre de la terrasse vue de dessus, $EJ + JG + GH + HE$ . Il manque $JG$ .

$EFGH$ est un rectangle, donc $GF = HE = 3$ m. Le triangle $FGJ$ est rectangle en $F$ , d’hypoténuse $[GJ]$ . D’après le théorème de Pythagore :

GJ^2 = GF^2 + FJ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \quad\text{donc}\quad GJ = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Périmètre : $EJ + JG + GH + HE = 10 + 5 + 6 + 3 = 24$ m.

Ils doivent acheter au minimum $24$ m de planches.

3) M. et Mme Martin souhaitent réaliser $4$ m³ de béton.

a. Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4$ m³.

Corrigé

La terrasse est un prisme droit dont la base est le trapèze $EJGH$ (vue de dessus) et la hauteur $15$ cm, soit $0{,}15$ m.

Aire de la base : rectangle $EFGH$ plus triangle $FGJ$ rectangle en $F$ .

\mathcal{A}_{\text{base}} = 6 \times 3 + \dfrac{4 \times 3}{2} = 18 + 6 = 24 \text{ m}^2

V = 24 \times 0{,}15 = 3{,}6 \text{ m}^3

Le volume de la terrasse est $3{,}6$ m³, bien inférieur à $4$ m³.

b. Sachant que pour faire $1$ m³ de béton, il faut $250$ kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser $4$ m³ de béton ?

Corrigé

$4 \times 250 = 1\,000$ . Ils doivent acheter $1\,000$ kg de ciment.

c. Pour faire du béton, on ajoute de l’eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable. Dans ce mélange, les masses de ciment – gravier – sable sont dans le ratio $2 : 7 : 5$ .

Déterminer (en kg) la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4$ m³ de béton.

Corrigé

Le ratio $2 : 7 : 5$ signifie que, pour $2$ parts de ciment, il faut $7$ parts de gravier et $5$ parts de sable, chaque part ayant la même masse.

Les $1\,000$ kg de ciment représentent $2$ parts : une part pèse $\dfrac{1\,000}{2} = 500$ kg.

Gravier : $7 \times 500 = 3\,500$ kg.
Sable : $5 \times 500 = 2\,500$ kg.

Il faut $3\,500$ kg de gravier et $2\,500$ kg de sable.

4) M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.

À l’aide des documents 1, 2 et 3, déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.

Document 1 : Pots de peinture proposés

	Pot A	Pot B
Contenance (en litres)	5	10
Prix (en euros)	79,90	129,90

Document 2 : L’offre du mois

Moins 50 % sur le deuxième article identique

Document 3 :

Deux couches de peinture sont nécessaires.

1 litre de peinture permet de réaliser une couche de 5 m².

Corrigé

La surface supérieure est la base du prisme : $24$ m² (question 3. a.). Avec deux couches, on peint l’équivalent de $2 \times 24 = 48$ m². Il faut donc :

\dfrac{48}{5} = 9{,}6 \text{ L de peinture}

Il faut au moins $10$ L. On compare les achats possibles :

un pot B ( $10$ L) : $129{,}90$ € ;
deux pots A ( $2 \times 5 = 10$ L) : le deuxième pot est identique au premier, il est donc à moitié prix ( $79{,}90 \div 2 = 39{,}95$ €) : $79{,}90 + 39{,}95 = 119{,}85$ € ;
un pot A et un pot B ( $15$ L) : ils ne sont pas identiques, pas de réduction : $79{,}90 + 129{,}90 = 209{,}80$ €, plus cher et inutile.

Le coût minimum est obtenu avec deux pots A, pour $119{,}85$ €.

Exercice 5 : triangles équilatéraux et Scratch (19 points)

Dans cet exercice on considère la figure codée ci-dessous.

Figure codée : triangle ABC avec AB = 240 mm et un angle de 60° en A, l’angle en B codé égal à l’angle en A ; les droites (AC) et (BC) se prolongent au-delà de C jusqu’à E et D ; DE = DC = CE (codage), CE = 80 mm

Le dessin n’est pas à l’échelle.

Les points $A$ , $C$ et $E$ sont alignés.
Les points $B$ , $C$ et $D$ sont alignés.
$AB = 240$ mm.
$CE = 80$ mm.

Partie A

1) Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

Corrigé

D’après la figure, $\widehat{BAC} = 60°$ , et le codage indique que $\widehat{ABC} = \widehat{BAC}$ , donc $\widehat{ABC} = 60°$ . La somme des angles d’un triangle vaut $180°$ , donc :

\widehat{ACB} = 180° - 60° - 60° = 60°

Les trois angles du triangle $ABC$ mesurent $60°$ : le triangle $ABC$ est équilatéral.

2) Montrer que les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.

Corrigé

D’après le codage, $DE = DC = CE$ : le triangle $CDE$ est équilatéral, donc ses angles mesurent $60°$ . En particulier, $\widehat{CED} = 60°$ .

Les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont coupées par la sécante $(AE)$ . Les angles $\widehat{DEA}$ (c’est-à-dire $\widehat{CED}$ , puisque $C$ est sur $[AE]$ ) et $\widehat{BAE}$ sont alternes-internes, et ils sont égaux : tous les deux mesurent $60°$ .

Deux droites coupées par une sécante qui forment des angles alternes-internes égaux sont parallèles : les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles.

Partie B

On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.

Ce programme comporte une variable nommée « côté ».

Les longueurs sont données en pas : 1 pas représente 1 mm.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.

Programme                               Le bloc triangle

1  quand le drapeau est cliqué          définir triangle
2  aller à x: -180  y: -150               stylo en position d'écriture
3  s'orienter à 90                        répéter 3 fois
4  mettre côté à …                          avancer de (côté) pas
5  triangle                                 tourner ↺ de 120 degrés
6  tourner ↺ de 60 degrés                 relever le stylo
7  avancer de 240 pas
8  mettre côté à (côté / 3)
9  triangle

1) Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ? Aucune justification n’est demandée.

Corrigé

L’instruction de la ligne 2, « aller à x: -180 y: -150 », place le lutin au point de coordonnées $(-180 \,;\, -150)$ .

2) Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ? Aucune justification n’est demandée.

Corrigé

$240$ .

Le premier appel du bloc triangle (ligne 5) trace le grand triangle équilatéral $ABC$ , de côté $AB = 240$ mm, soit $240$ pas.

3) Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme ? Aucune justification n’est demandée.

La figure tracée sur un quadrillage dont les colonnes sont nommées de A à J et les lignes numérotées de 1 à 8 : le lutin part du sommet A, dans la case D8 ; le côté [AB] va jusqu’à la case J8 ; les côtés se croisent en C, et le petit triangle est en haut, sur la ligne 1, de la case F1 à la case H1

Corrigé

Dans la case G3.

À la ligne 5, le lutin trace le triangle $ABC$ et revient en $A$ , orienté vers la droite (il a tourné $3$ fois de $120°$ , soit $360°$ ). La ligne 6 l’oriente à $60°$ au-dessus de l’horizontale, dans la direction de $[AC]$ , et la ligne 7 le fait avancer de $240$ pas, stylo relevé : il arrive au point $C$ , là où les côtés se croisent, dans la case G3.

4) Expliquer l’instruction « côté / 3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.

Corrigé

Après la ligne 7, le lutin est en $C$ , orienté dans la direction de $[CE]$ . Le deuxième appel du bloc triangle (ligne 9) doit tracer le petit triangle équilatéral $CED$ , de côté $CE = 80$ mm.

La variable « côté » vaut alors $240$ , et $\dfrac{240}{3} = 80$ : la ligne 8 donne à « côté » la longueur du côté du petit triangle, qui est le tiers de celle du grand ( $CE = \dfrac{AB}{3}$ ). Le lutin trace alors $[CE]$ , puis tourne de $120°$ et trace $[ED]$ , puis tourne encore de $120°$ et trace $[DC]$ .

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