Brevet · session 2023 · Métropole, Antilles et Guyane, série générale

Brevet 2023 de maths (métropole, Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2023, métropole et Antilles-Guyane (23GENMATMEAG1) : tableur et moyenne, Pythagore et Thalès, QCM, escalier et Scratch, fonctions affines.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2023). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : tableur, étendue et prix moyen (20 points)

Un opticien vend différents modèles de lunettes de soleil.

Il reporte dans le tableur ci-dessous des informations sur cinq modèles vendus pendant l’année $2022$ .

	A	B	C	D	E	F	G
1	Lunettes de soleil	Modèle 1	Modèle 2	Modèle 3	Modèle 4	Modèle 5	Total
2	Nombre de paires de lunettes vendues	$1\,200$	$950$	$875$	$250$	$300$
3	Prix à l’unité en euro	$75$	$100$	$110$	$140$	$160$	(case barrée)

1. Montrer que l’étendue des prix de ces paires de lunettes de soleil est de $85$ euros.

Corrigé

L’étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit prix. Le plus cher est le modèle 5 ( $160$ €), le moins cher le modèle 1 ( $75$ €) :

160 - 75 = 85

L’étendue des prix est bien de $85$ euros.

2. a. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule G2 pour calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en $2022$ ?

Corrigé

Il faut additionner les cellules B2 à F2. On saisit en G2 :

=SOMME(B2:F2)

La formule =B2+C2+D2+E2+F2 convient aussi. (Sans le signe =, le tableur afficherait le texte au lieu de calculer.)

2. b. Calculer le nombre total de paires de lunettes de soleil vendues en $2022$ .

Corrigé

1\,200 + 950 + 875 + 250 + 300 = 3\,575

L’opticien a vendu $3\,575$ paires de lunettes de soleil en $2022$ .

3. a. Calculer le montant total, en euros, des ventes des paires de lunettes de soleil en $2022$ .

Corrigé

Pour chaque modèle, on multiplie le nombre de paires vendues par le prix d’une paire, puis on additionne :

1\,200 \times 75 = 90\,000 \qquad 950 \times 100 = 95\,000 \qquad 875 \times 110 = 96\,250

250 \times 140 = 35\,000 \qquad 300 \times 160 = 48\,000

90\,000 + 95\,000 + 96\,250 + 35\,000 + 48\,000 = 364\,250

Le montant total des ventes est de $364\,250$ €.

3. b. Calculer le prix moyen d’une paire de lunettes de soleil vendue en $2022$ , arrondi au centime près.

Corrigé

Le prix moyen est le montant total des ventes divisé par le nombre total de paires vendues (moyenne pondérée par les effectifs) :

\dfrac{364\,250}{3\,575} \approx 101{,}888

Le prix moyen d’une paire vendue est d’environ $101{,}89$ €.

Piège : la moyenne des cinq prix, $\dfrac{75 + 100 + 110 + 140 + 160}{5} = 117$ €, ne tient pas compte du nombre de paires vendues. Elle est plus élevée, car les modèles les moins chers sont ceux qui se vendent le plus.

Exercice 2 : rectangle, Pythagore et Thalès (20 points)

Sur la figure ci-dessous :

$BCDE$ est un rectangle, $BAE$ est un triangle rectangle en $A$ ;
la perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par $A$ coupe cette droite en $H$ ;
les droites $(AE)$ et $(CD)$ se coupent en $F$ .

Rectangle BCDE, avec B en haut à gauche, C en bas à gauche, D en bas à droite et E en haut à droite. Au-dessus du côté [BE], le triangle BAE est rectangle en A. Le segment [AH] est perpendiculaire à la droite (CD), H étant entre C et D. La droite (AE) prolongée coupe la droite (CD) en F, à droite de D. Codage : AB et BC ont deux traits, BE et EF trois traits ; angles droits en A, B, C, D, E et H

On donne :

$AB = BC = 4{,}2$ cm ;
$EB = EF = 7$ cm.

1. Montrer que l’aire du rectangle $BCDE$ est égale à $29{,}4 \text{ cm}^2$ .

Corrigé

Le rectangle $BCDE$ a pour longueur $BE = 7$ cm et pour largeur $BC = 4{,}2$ cm :

\mathcal{A}_{BCDE} = 7 \times 4{,}2 = 29{,}4 \text{ cm}^2

2. a. Montrer que la longueur $AE$ est égale à $5{,}6$ cm.

Corrigé

Le triangle $BAE$ est rectangle en $A$ : son hypoténuse est $[BE]$ . D’après le théorème de Pythagore :

BE^2 = AB^2 + AE^2 \qquad\text{donc}\qquad 7^2 = 4{,}2^2 + AE^2

AE^2 = 49 - 17{,}64 = 31{,}36 \qquad\text{donc}\qquad AE = \sqrt{31{,}36} = 5{,}6 \text{ cm}

2. b. Calculer l’aire du triangle rectangle $ABE$ .

Corrigé

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur :

\mathcal{A}_{ABE} = \dfrac{AB \times AE}{2} = \dfrac{4{,}2 \times 5{,}6}{2} = \dfrac{23{,}52}{2} = 11{,}76 \text{ cm}^2

3. a. Montrer que les droites $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles.

Corrigé

$BCDE$ est un rectangle, donc son angle en $D$ est droit : $(ED)$ est perpendiculaire à $(CD)$ .

Par définition du point $H$ , la droite $(HA)$ est elle aussi perpendiculaire à $(CD)$ .

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : $(ED)$ et $(HA)$ sont parallèles.

3. b. Calculer la longueur $AH$ .

Corrigé

On connaît d’abord deux longueurs :

$ED = BC = 4{,}2$ cm, car les côtés opposés d’un rectangle ont la même longueur ;
$E$ est sur le segment $[AF]$ , donc $FA = FE + EA = 7 + 5{,}6 = 12{,}6$ cm.

Dans le triangle $FAH$ : $E$ est sur $[FA]$ , $D$ est sur $[FH]$ , et les droites $(ED)$ et $(AH)$ sont parallèles (question 3. a.). D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{FD}{FH} = \dfrac{ED}{AH} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{7}{12{,}6} = \dfrac{4{,}2}{AH}

AH = \dfrac{4{,}2 \times 12{,}6}{7} = \dfrac{52{,}92}{7} = 7{,}56 \text{ cm}

Vérification par un autre chemin : $AH$ est la somme de la largeur du rectangle ( $4{,}2$ cm) et de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABE$ . Avec l’aire de la question 2. b., cette hauteur vaut $\dfrac{2 \times 11{,}76}{BE} = \dfrac{23{,}52}{7} = 3{,}36$ cm, et $4{,}2 + 3{,}36 = 7{,}56$ cm.

Exercice 3 : QCM (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses (A, B ou C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Dans une classe de $25$ élèves, $60\ \%$ des élèves sont des filles.

Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?

A	B	C
$10$	$15$	$20$

Corrigé

\dfrac{60}{100} \times 25 = 0{,}6 \times 25 = 15

Réponse B. (La réponse A, $10$ , est le nombre de garçons : $25 - 15 = 10$ .)

Question 2

Quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $126$ ?

A	B	C
$2 \times 9 \times 7$	$2^2 \times 5^2 + 2 \times 13$	$2 \times 3^2 \times 7$

Corrigé

126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7

Réponse C. Les trois écritures valent $126$ , mais la réponse A contient $9$ , qui n’est pas premier ( $9 = 3 \times 3$ ), et la réponse B est une somme, pas un produit.

Question 3

Dans un sac, il y a $17$ jetons rouges, $23$ jetons jaunes et $20$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. On tire au hasard un jeton du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir un jeton rouge ou un jeton jaune ?

A	B	C
$\dfrac{2}{3}$	$0{,}6$	$\dfrac{17}{23}$

Corrigé

Le sac contient $17 + 23 + 20 = 60$ jetons, et chacun a la même chance d’être tiré. Les jetons rouges ou jaunes sont au nombre de $17 + 23 = 40$ :

P = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}

Réponse A. ( $\dfrac{17}{23}$ compare les rouges aux jaunes : ce n’est pas une probabilité de cette expérience.)

Question 4

Sur l’octogone régulier ci-dessous, quelle est l’image du segment $[DC]$ par la rotation de centre $O$ qui transforme $A$ en $D$ ?

Octogone régulier de centre O, relié à ses huit sommets. Les sommets se suivent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : A en bas à droite, B à droite, C en haut à droite, D en haut, E en haut à gauche, F à gauche, G en bas à gauche et H en bas

A	B	C
$[GE]$	$[GF]$	$[AH]$

Corrigé

L’octogone est régulier : deux sommets consécutifs sont séparés, vu du centre, par un angle de $\dfrac{360°}{8} = 45°$ . Pour passer de $A$ à $D$ , on avance de trois sommets ( $A \to B \to C \to D$ ) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : c’est la rotation de centre $O$ d’angle $3 \times 45° = 135°$ dans ce sens.

Elle fait aussi avancer chaque sommet de trois crans : $D$ a pour image $G$ ( $D \to E \to F \to G$ ) et $C$ a pour image $F$ ( $C \to D \to E \to F$ ). L’image du segment $[DC]$ est donc le segment $[GF]$ . Réponse B.

Question 5

Quel est le volume d’un pavé droit de hauteur $1{,}5$ m et de base rectangulaire de $2$ m de longueur et $1{,}3$ m de largeur ?

On rappelle que $1 \text{ m}^3 = 1\,000$ L.

A	B	C
$2{,}6 \text{ m}^3$	$3\,900$ L	$3\,000$ L

Corrigé

V = 2 \times 1{,}3 \times 1{,}5 = 3{,}9 \text{ m}^3 = 3{,}9 \times 1\,000 \text{ L} = 3\,900 \text{ L}

Réponse B. (Le nombre $2{,}6$ de la réponse A est l’aire de la base, $2 \times 1{,}3 = 2{,}6 \text{ m}^2$ , qu’il reste à multiplier par la hauteur.)

Exercice 4 : escalier, trigonométrie et Scratch (20 points)

On veut fabriquer un escalier en bois de hauteur $272$ cm.

La figure ci-dessous représente une vue de profil de cet escalier.

La hauteur d’une marche est de $17$ cm.

La profondeur d’une marche pour poser le pied mesure $27$ cm.

1. a. Montrer qu’il faut prévoir $16$ marches pour construire cet escalier.

Corrigé

Chaque marche fait monter de $17$ cm, et l’escalier doit monter de $272$ cm :

272 \div 17 = 16

La division tombe juste : il faut $16$ marches.

1. b. Montrer que la longueur $AB$ est égale à $432$ cm.

Corrigé

Sur la figure, chaque marche avance d’une profondeur de $27$ cm, de $A$ jusqu’à l’aplomb de $C$ , c’est-à-dire jusqu’à $B$ . Avec $16$ marches :

AB = 16 \times 27 = 432 \text{ cm}

2. Pour permettre une montée agréable, l’angle $\widehat{BAC}$ doit être compris entre $25°$ et $40°$ .

2. a. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ , arrondie au degré près.

Corrigé

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ , on connaît le côté opposé à l’angle $\widehat{BAC}$ , $BC = 272$ cm, et son côté adjacent, $AB = 432$ cm :

\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{272}{432}

\widehat{BAC} = \arctan\left(\dfrac{272}{432}\right) \approx 32{,}2°

L’angle $\widehat{BAC}$ mesure environ $32°$ .

(On retrouve le même rapport avec une seule marche : $\dfrac{272}{432} = \dfrac{16 \times 17}{16 \times 27} = \dfrac{17}{27}$ .)

2. b. L’escalier permet-il une montée agréable ?

Corrigé

$25° < 32° < 40°$ : l’angle est bien compris entre $25°$ et $40°$ . L’escalier permet une montée agréable.

3. On rédige le programme ci-dessous avec le logiciel Scratch pour dessiner cet escalier. ( $1$ cm dans la réalité est représenté par $1$ pas dans le programme.)

Recopier les lignes 5, 6, 7 et 9 sur la copie en les complétant.

1  quand le drapeau est cliqué
2  s'orienter à (90)
3  effacer tout
4  stylo en position d'écriture
5  répéter (…) fois
6    tourner ↺ de (…) degrés
7    avancer de (…) pas
8    tourner ↻ de (90) degrés
9    avancer de (…) pas

Corrigé

Le lutin part orienté à $90$ , c’est-à-dire vers la droite. Chaque passage dans la boucle dessine une marche comme sur la figure : il tourne vers la gauche pour regarder vers le haut, monte de la hauteur d’une marche, tourne vers la droite pour regarder de nouveau vers la droite, puis avance de la profondeur d’une marche. Il y a $16$ marches.

5  répéter (16) fois
6    tourner ↺ de (90) degrés
7    avancer de (17) pas
9    avancer de (27) pas

À la fin de chaque passage, le lutin regarde de nouveau vers la droite : la marche suivante se dessine de la même façon.

Exercice 5 : programmes de calcul et fonctions affines (20 points)

Voici deux programmes de calcul.

Programme A :

Choisir un nombre.

Multiplier ce nombre par $-2$ .

Ajouter $5$ à ce résultat.

Programme B :

Choisir un nombre.

Soustraire $5$ à ce nombre.

Multiplier le résultat par $3$ .

Ajouter $11$ au résultat.

1. a. Montrer que, si on choisit $-3$ comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est $11$ .

Corrigé

$(-3) \times (-2) = 6$ , puis $6 + 5 = 11$ . On obtient bien $11$ .

1. b. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit $5{,}5$ comme nombre de départ ?

Corrigé

$5{,}5 - 5 = 0{,}5$ , puis $0{,}5 \times 3 = 1{,}5$ , puis $1{,}5 + 11 = 12{,}5$ .

Le programme B donne $12{,}5$ .

2. En désignant par $x$ le nombre de départ, on obtient $-2x + 5$ comme résultat avec le programme A.

Montrer, qu’avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à $3x - 4$ .

Corrigé

Les étapes du programme B donnent $x - 5$ , puis $3(x - 5)$ , puis $3(x - 5) + 11$ . On développe :

3(x - 5) + 11 = 3x - 15 + 11 = 3x - 4

Le résultat du programme B est bien $3x - 4$ . (Vérification avec $x = 5{,}5$ : $3 \times 5{,}5 - 4 = 16{,}5 - 4 = 12{,}5$ , comme à la question 1. b.)

3. a. On a représenté ci-dessous les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 5$ et $g(x) = 3x - 4$ .

Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.

Repère quadrillé, abscisses de −1 à 5, ordonnées de −4 à 6. La droite (D1) monte : elle coupe l’axe des ordonnées en −4 et passe par (1 ; −1), (2 ; 2) et (3 ; 5). La droite (D2) descend : elle coupe l’axe des ordonnées en 5 et passe par (1 ; 3), (2 ; 1), (3 ; −1) et (4 ; −3). Les deux droites se coupent entre les abscisses 1,5 et 2

Corrigé

Ces deux fonctions sont affines : on regarde leur coefficient directeur et leur ordonnée à l’origine.

$f(x) = -2x + 5$ : le coefficient $-2$ est négatif, la droite descend ; et $f(0) = 5$ , elle coupe l’axe des ordonnées en $5$ . C’est $(D_2)$ .
$g(x) = 3x - 4$ : le coefficient $3$ est positif, la droite monte ; et $g(0) = -4$ , elle coupe l’axe des ordonnées en $-4$ . C’est $(D_1)$ .

3. b. Par lecture graphique, donner, le plus précisément possible, le nombre dont l’image est la même par la fonction $f$ et la fonction $g$ .

Corrigé

Le nombre cherché est l’abscisse du point d’intersection des deux droites. On lit que ce point est entre les abscisses $1{,}5$ et $2$ , plus près de $2$ : le nombre cherché vaut environ $1{,}8$ . (Son ordonnée, l’image commune, est d’environ $1{,}4$ .)

4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.

Corrigé

On cherche $x$ tel que les deux résultats soient égaux :

-2x + 5 = 3x - 4

5 + 4 = 3x + 2x \qquad\text{donc}\qquad 9 = 5x \qquad\text{donc}\qquad x = \dfrac{9}{5} = 1{,}8

Les deux programmes donnent le même résultat pour le nombre de départ $1{,}8$ . Vérification : $-2 \times 1{,}8 + 5 = 1{,}4$ et $3 \times 1{,}8 - 4 = 1{,}4$ . C’est bien la valeur lue à la question 3. b.

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