Brevet · session 2023 · Centres étrangers (groupe 1), série générale

Brevet 2023 de maths (centres étrangers, groupe 1) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2023, centres étrangers du groupe 1 (23GENMATG11) : QCM et Scratch, toboggan et Thalès, programmes de calcul, probabilités, tarifs.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2023). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient. L’annexe (exercice 5) est à rendre avec la copie : elle est reprise ici dans les questions concernées.

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 : QCM, Scratch et calculs (18 points)

Cet exercice, en deux parties, est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les réponses proposées, une seule est exacte. Recopier le numéro de la question et indiquer la réponse choisie. Aucune justification n’est attendue ici.

Partie A

Dans cette partie, on s’intéresse au programme ci-dessous, composé d’un bloc « triangle équilatéral » et d’un script principal :

Bloc « triangle équilatéral »        Script principal
définir [triangle équilatéral]       quand le drapeau est cliqué
stylo en position d'écriture         aller à x: (0) y: (0)
répéter (3) fois                     s'orienter à (90)
  avancer de (50) pas                effacer tout
  tourner ↺ de (   ) degrés          répéter (2) fois
                                       stylo en position d'écriture
                                       triangle équilatéral
                                       relever le stylo
                                       tourner ↺ de (60) degrés

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 » signifie s’orienter vers la droite.

1. On souhaite construire le triangle équilatéral ci-dessous. Le stylo est orienté à $90°$ au départ comme ci-dessous. Compléter le script du bloc « triangle équilatéral » avec la valeur qui convient.

Triangle équilatéral dont la base est horizontale, ses trois côtés codés égaux ; une flèche horizontale marquée Départ arrive sur le sommet en bas à gauche

Réponse A	Réponse B	Réponse C
$60°$	$100°$	$120°$

Corrigé

Le stylo part du sommet en bas à gauche, vers la droite, et trace la base. À chaque sommet, il doit tourner de l’angle extérieur du triangle : $180° - 60° = 120°$ (ou $360° \div 3 = 120°$ ).

Réponse C. Tourner de $60°$ , l’angle intérieur, est l’erreur classique : le stylo ne reviendrait pas à son point de départ.

2. Parmi les trois figures, laquelle est obtenue avec le script principal ?

Les trois figures proposées. Réponse A : un triangle pointé vers la gauche, de côté vertical, accolé par un sommet à un triangle de base horizontale. Réponse B : deux triangles de base horizontale côte à côte, qui ont un sommet commun. Réponse C : un triangle pointe en bas et un triangle de base horizontale, accolés par un côté oblique, qui forment un parallélogramme

Corrigé

Le stylo part de l’origine, orienté vers la droite.

Premier passage : il trace un triangle équilatéral de base horizontale, à droite de l’origine, et revient à l’origine, de nouveau orienté vers la droite (il a tourné trois fois de $120°$ , soit $360°$ ).
Il tourne ensuite de $60°$ vers la gauche : il est orienté vers le haut à droite, le long du côté gauche du premier triangle.
Second passage : il trace un triangle dont le premier côté est ce côté gauche, puis le côté horizontal du haut, vers la gauche, et revient à l’origine. Ce triangle a la pointe en bas, à l’origine.

Les deux triangles ont un côté commun : réponse C.

3. Quel polygone obtient-on si on remplace dans le script principal, la boucle « répéter 2 fois » par une boucle « répéter 6 fois » ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C
Un parallélogramme	Un hexagone	Un losange

Corrigé

Chaque passage trace un triangle équilatéral puis tourne de $60°$ . Après $6$ passages, le stylo a tourné de $6 \times 60° = 360°$ : on obtient six triangles équilatéraux autour de l’origine, qui forment un hexagone régulier.

Réponse B. Avec deux passages, on obtenait la figure de la question 2, qui est un parallélogramme (et même un losange, ses quatre côtés mesurant $50$ pas).

Partie B

1. $\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{7}{5}\right) \div \dfrac{4}{3} =$

Réponse A	Réponse B	Réponse C
$\dfrac{3}{15} \times \dfrac{4}{3}$	$\left(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{7}{5}\right) \div \dfrac{4}{3}$	$\dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{4}$

Corrigé

La multiplication passe avant la soustraction :

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{7}{5} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{15} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{7}{15} = \dfrac{3}{15}

Diviser par $\dfrac{4}{3}$ , c’est multiplier par son inverse $\dfrac{3}{4}$ : l’expression vaut $\dfrac{3}{15} \times \dfrac{3}{4}$ .

Réponse C. La réponse A oublie d’inverser la fraction ; la réponse B effectue $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}$ avant la multiplication.

2. L’écriture scientifique de $302{,}4 \times 10^{18}$ est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C
$3{,}024 \times 10^{16}$	$3{,}024 \times 10^{20}$	$0{,}3024 \times 10^{21}$

Corrigé

$302{,}4 = 3{,}024 \times 10^{2}$ , donc :

302{,}4 \times 10^{18} = 3{,}024 \times 10^{2} \times 10^{18} = 3{,}024 \times 10^{20}

Réponse B. La réponse C est égale au même nombre, mais ce n’est pas une écriture scientifique : $0{,}3024$ n’est pas compris entre $1$ et $10$ .

3. On donne ci-dessous la masse de $8$ biscuits différents :

$12$ g ; $10$ g ; $18$ g ; $8$ g ; $12$ g ; $15$ g ; $11$ g ; $13$ g

Suite à une erreur de mesure, le biscuit pesant $18$ g pèse en fait $16$ g. Une fois cette erreur corrigée, la valeur de la médiane sera :

Réponse A	Réponse B	Réponse C
Plus petite.	La même.	Plus grande.

Corrigé

On range les masses dans l’ordre croissant : $8 \;;\; 10 \;;\; 11 \;;\; 12 \;;\; 12 \;;\; 13 \;;\; 15 \;;\; 18$ . Il y a $8$ valeurs : la médiane est la moyenne des $4^{\text{e}}$ et $5^{\text{e}}$ valeurs, $\dfrac{12 + 12}{2} = 12$ g.

Après correction : $8 \;;\; 10 \;;\; 11 \;;\; 12 \;;\; 12 \;;\; 13 \;;\; 15 \;;\; 16$ . La plus grande valeur change, mais elle reste la dernière : les $4^{\text{e}}$ et $5^{\text{e}}$ valeurs ne bougent pas et la médiane vaut toujours $12$ g.

Réponse B. C’est la moyenne qui baisserait, pas la médiane.

Exercice 2 : cabane, toboggan et bac à sable (24 points)

Les 3 parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Une famille souhaite installer dans son jardin la cabane ci-dessous. La partie inférieure de cette cabane, encadrée par des pointillés sur la photo, est modélisée par le schéma suivant.

(La photo du sujet, qui montre la cabane avec son escalier et son toboggan, n’est pas reproduite.)

Schéma de la cabane : A, C, D et E alignés sur le sol, dans cet ordre. B est au-dessus de C et F au-dessus de D, avec des angles droits en C et en D ; [BF] est horizontal. L’escalier est le segment [AB], le toboggan le segment [FE] ; l’angle DEF est marqué en E. Une poutre en pointillés relie M, sur [AB], à N, sur [BC], avec un angle droit en N

On précise que :

$AB = 1{,}3$ m ;
$AC = 0{,}5$ m ;
$BC = DF = 1{,}2$ m ;
$DE = 2{,}04$ m ;
les triangles $ABC$ , $BMN$ et $FDE$ sont rectangles.

Partie A : étude du toboggan

1. Pour que le toboggan soit sécurisé, il faut que l’angle $\widehat{DEF}$ mesure $30°$ , au degré près. Le toboggan de cette cabane est-il sécurisé ?

Corrigé

Le triangle $FDE$ est rectangle en $D$ (codage du schéma). Dans ce triangle, $[DF]$ est le côté opposé à l’angle $\widehat{DEF}$ et $[DE]$ le côté adjacent :

\tan \widehat{DEF} = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{1{,}2}{2{,}04} \approx 0{,}588

À la calculatrice (touche $\tan^{-1}$ ou Arctan), $\widehat{DEF} \approx 30{,}46°$ , soit $\widehat{DEF} \approx 30°$ au degré près. Le toboggan est sécurisé.

2. Montrer que la rampe du toboggan, $EF$ , mesure environ $2{,}37$ m.

Corrigé

Le triangle $FDE$ est rectangle en $D$ , d’hypoténuse $[EF]$ . D’après le théorème de Pythagore :

EF^2 = DE^2 + DF^2 = 2{,}04^2 + 1{,}2^2 = 4{,}1616 + 1{,}44 = 5{,}6016

EF = \sqrt{5{,}6016} \approx 2{,}37 \text{ m}

Partie B : étude de l’échelle

Pour consolider l’échelle, on souhaite ajouter une poutre supplémentaire $[MN]$ , comme indiqué sur le modèle.

1. Démontrer que les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ : la droite $(AC)$ est perpendiculaire à $(BC)$ .

Le triangle $BMN$ est rectangle en $N$ , avec $N$ sur $[BC]$ : la droite $(MN)$ est perpendiculaire à $(BN)$ , c’est-à-dire à $(BC)$ .

Les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires à la même droite $(BC)$ : elles sont parallèles.

Remarque. On peut aussi le vérifier : $AC^2 + BC^2 = 0{,}25 + 1{,}44 = 1{,}69 = 1{,}3^2 = AB^2$ , donc $ABC$ est bien rectangle en $C$ d’après la réciproque du théorème de Pythagore. Le sujet ne précise pas le sommet de l’angle droit de chaque triangle : on le lit sur le codage du schéma.

2. On positionne cette poutre $[MN]$ telle que $BN = 0{,}84$ m. Calculer sa longueur $MN$ .

Corrigé

Les points $B$ , $M$ , $A$ sont alignés, les points $B$ , $N$ , $C$ aussi, et les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{MN}{AC}

\dfrac{0{,}84}{1{,}2} = \dfrac{MN}{0{,}5}, \quad \text{donc} \quad MN = \dfrac{0{,}84 \times 0{,}5}{1{,}2} = \dfrac{0{,}42}{1{,}2} = 0{,}35 \text{ m}

La poutre mesure $0{,}35$ m, soit $35$ cm.

Partie C : étude du bac à sable

Un bac à sable est installé sous la cabane. Il s’agit d’un pavé droit dont les dimensions sont données ci-dessous (la photo du sujet n’est pas reproduite) :

longueur : $200$ cm ;
largeur : $180$ cm ;
hauteur : $20$ cm.

Pavé droit en perspective représentant le bac à sable : longueur 200 cm, largeur 180 cm, hauteur 20 cm

1. Calculer le volume de ce bac à sable en $\text{cm}^3$ .

Corrigé

V = 200 \times 180 \times 20 = 720\,000 \text{ cm}^3

Comme $1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$ , cela fait $0{,}72 \text{ m}^3$ , la valeur admise à la question suivante.

2. On admet que le volume du bac à sable est de $0{,}72 \text{ m}^3$ . On remplit entièrement ce bac avec un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio $3 : 2$ . Vérifier que le volume nécessaire de sable à maçonner est de $0{,}432 \text{ m}^3$ et que celui de sable fin est de $0{,}288 \text{ m}^3$ .

Corrigé

Le ratio $3 : 2$ partage le volume en $3 + 2 = 5$ parts égales :

0{,}72 \div 5 = 0{,}144 \text{ m}^3 \text{ par part}

Sable à maçonner : $3 \times 0{,}144 = 0{,}432 \text{ m}^3$ .
Sable fin : $2 \times 0{,}144 = 0{,}288 \text{ m}^3$ .

Vérification : $0{,}432 + 0{,}288 = 0{,}72 \text{ m}^3$ .

3. Un magasin propose à l’achat le sable à maçonner et le sable fin, vendus en sac. D’après les indications ci-dessous, quel est le coût total du sable nécessaire pour remplir entièrement ce bac à sable sachant qu’on ne peut acheter que des sacs entiers ?

	Pour 1 sac de sable à maçonner	Pour 1 sac de sable fin
Poids	$35$ kg	$25$ kg
Volume	$0{,}022 \text{ m}^3$	$0{,}016 \text{ m}^3$
Prix	$2{,}95$ €	$5{,}95$ €

Corrigé

Sable à maçonner : $0{,}432 \div 0{,}022 \approx 19{,}6$ . Avec $19$ sacs, il manquerait du sable ( $19 \times 0{,}022 = 0{,}418 \text{ m}^3$ ) : il faut $20$ sacs.

20 \times 2{,}95 = 59 \text{ €}

Sable fin : $0{,}288 \div 0{,}016 = 18$ exactement, donc $18$ sacs.

18 \times 5{,}95 = 107{,}10 \text{ €}

Coût total : $59 + 107{,}10 = 166{,}10$ €. Le sable coûte $166{,}10$ €. Le poids des sacs ne sert pas.

Exercice 3 : programmes de calcul, tableur et équation (15 points)

Amir et Sonia ont chacun inventé un programme de calcul.

Programme d’Amir	Programme de Sonia
Choisir un nombre	Choisir un nombre
Soustraire $5$	Ajouter $3$
Prendre le double du résultat	Multiplier le résultat par le nombre choisi
	Soustraire $16$

1. Montrer que si le nombre choisi au départ est $6$ alors on obtient $2$ avec le programme d’Amir et on obtient $38$ avec celui de Sonia.

Corrigé

Programme d’Amir : $6 - 5 = 1$ , puis $2 \times 1 = 2$ .
Programme de Sonia : $6 + 3 = 9$ , puis $9 \times 6 = 54$ , puis $54 - 16 = 38$ .

2. Amir et Sonia souhaitent savoir s’il existe des nombres choisis au départ pour lesquels les deux programmes renvoient le même résultat. Pour cela, ils complètent la feuille de calcul ci-dessous :

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	Nombre choisi	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
2	Programme d’Amir	$-14$	$-12$	$-10$	$-8$	$-6$	$-4$	$-2$
3	Programme de Sonia	$-18$	$-18$	$-16$	$-12$	$-6$	$2$	$12$

Aucune justification n’est attendue pour les deux questions ci-dessous.

2. a. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers la droite.

=(B1-5)*2 | =(-2-5)*2 | =B1-5*2

Corrigé

La formule est =(B1-5)*2 : elle part du nombre de la cellule B1, lui soustrait $5$ puis double le résultat.

=(-2-5)*2 donne bien $-14$ en B2, mais avec un nombre écrit en dur : étirée vers la droite, elle donnerait $-14$ partout. =B1-5*2 calcule $B1 - 10$ (la multiplication passe avant la soustraction), soit $-12$ en B2.

2. b. En vous aidant de la feuille de calcul, quel nombre doivent-ils choisir pour obtenir des résultats égaux avec les deux programmes ?

Corrigé

Dans la colonne F, les deux programmes donnent $-6$ : il faut choisir $2$ .

3. Sonia et Amir souhaitent vérifier s’il existe d’autres nombres permettant d’obtenir des résultats égaux avec les deux programmes. Pour cela, ils décident d’appeler $x$ le nombre choisi au départ de chacun des programmes.

3. a. Montrer que le résultat obtenu avec le programme de Sonia est donné par $x^2 + 3x - 16$ .

Corrigé

On ajoute $3$ : $x + 3$ . On multiplie par le nombre choisi : $(x + 3) \times x = x^2 + 3x$ . On soustrait $16$ :

x^2 + 3x - 16

3. b. On admet que les programmes donnent le même résultat si on choisit comme nombre de départ les solutions de l’équation $(x - 2)(x + 3) = 0$ . Résoudre cette équation et en déduire les valeurs pour lesquelles les deux programmes de calcul renvoient le même résultat.

Corrigé

Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 3 = 0

x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -3

Les deux programmes renvoient le même résultat pour $2$ et $-3$ .

Vérification avec $-3$ : Amir obtient $(-3 - 5) \times 2 = -16$ et Sonia $(-3 + 3) \times (-3) - 16 = -16$ . Le nombre $-3$ n’apparaissait pas dans la feuille de calcul, qui commence à $-2$ .

D’où vient l’équation. Le programme d’Amir donne $2(x - 5) = 2x - 10$ . L’égalité $x^2 + 3x - 16 = 2x - 10$ équivaut à $x^2 + x - 6 = 0$ , et $(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$ .

Exercice 4 : jeu de boules et constitution de lots (22 points)

Des élèves organisent, pour leur classe, un jeu au cours duquel il est possible de gagner des lots. Pour cela, ils placent dans une urne trois boules noires numérotées de $1$ à $3$ , et quatre boules rouges numérotées de $1$ à $4$ , toutes indiscernables au toucher.

Partie A : étude du jeu

1. On pioche au hasard une boule dans l’urne.

1. a. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Corrigé

L’urne contient $3 + 4 = 7$ boules, qui ont toutes la même probabilité d’être tirées. $4$ sont rouges :

P(\text{rouge}) = \dfrac{4}{7}

1. b. Quelle est la probabilité de tirer une boule dont le numéro est un nombre pair ?

Corrigé

Les boules de numéro pair sont la noire numérotée $2$ , la rouge numérotée $2$ et la rouge numérotée $4$ , soit $3$ boules sur $7$ :

P(\text{numéro pair}) = \dfrac{3}{7}

2. Le jeu consiste à piocher, dans l’urne, une première boule, la remettre dans l’urne puis en piocher une seconde. Pour chacune des boules tirées, on note la couleur ainsi que le numéro. Pour gagner un lot, il faut tirer la boule rouge numérotée $1$ et une boule noire. Quelle est la probabilité de gagner ?

Corrigé

La première boule est remise : chaque tirage se fait parmi les $7$ boules. Il y a $7 \times 7 = 49$ issues (première boule, seconde boule), toutes équiprobables.

On gagne avec la rouge numérotée $1$ et une noire, dans un ordre ou dans l’autre :

rouge $1$ puis noire $1$ , $2$ ou $3$ : $3$ issues ;
noire $1$ , $2$ ou $3$ puis rouge $1$ : $3$ issues.

P(\text{gagner}) = \dfrac{6}{49}

Par le calcul : $P(\text{R1 puis noire}) = \dfrac{1}{7} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{3}{49}$ , de même $P(\text{noire puis R1}) = \dfrac{3}{49}$ , et $\dfrac{3}{49} + \dfrac{3}{49} = \dfrac{6}{49}$ .

Remarque. L’énoncé n’impose pas d’ordre aux deux boules, d’où les deux cas. Si l’on exigeait la rouge numérotée $1$ au premier tirage, la probabilité serait $\dfrac{3}{49}$ .

Partie B : constitution des lots

Pour constituer les lots, on dispose de $195$ figurines et $234$ autocollants. Chaque lot sera composé de figurines ainsi que d’autocollants. Tous les lots sont identiques. Toutes les figurines et tous les autocollants doivent être utilisés.

1. Peut-on faire $3$ lots ?

Corrigé

$195 = 3 \times 65$ et $234 = 3 \times 78$ : $3$ divise $195$ et $234$ . On peut faire $3$ lots, de $65$ figurines et $78$ autocollants chacun.

2. Décomposer $195$ en produit de facteurs premiers.

Corrigé

$195 = 3 \times 65 = 3 \times 5 \times 13$ , et $3$ , $5$ , $13$ sont premiers :

195 = 3 \times 5 \times 13

3. Sachant que la décomposition en produit de facteurs premiers de $234$ est $2 \times 3^2 \times 13$ :

3. a. Combien de lots peut-on constituer au maximum ?

Corrigé

Le nombre de lots doit diviser $195$ et $234$ . On cherche le plus grand diviseur commun : on garde les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec leur plus petite puissance.

195 = 3 \times 5 \times 13 \qquad 234 = 2 \times 3^2 \times 13

Les facteurs communs sont $3$ et $13$ : le plus grand diviseur commun est $3 \times 13 = 39$ . On peut constituer $39$ lots au maximum.

3. b. De combien de figurines et d’autocollants sera alors composé chaque lot ?

Corrigé

195 \div 39 = 5 \qquad 234 \div 39 = 6

Chaque lot contient $5$ figurines et $6$ autocollants.

Exercice 5 : location de bateaux, proportionnalité et fonction affine (21 points)

Pour se promener le long d’un canal, deux sociétés proposent une location de bateaux électriques. Les bateaux se louent pour un nombre entier d’heure.

1. Étude du tarif proposé par la société A

Pour la société A, le prix à payer en fonction de la durée de location en heure est donné par le graphique ci-dessous (en annexe, à compléter et à rendre avec la copie).

Graphique de l’annexe, « Prix payé pour la location d’un bateau en fonction de la durée de location » : en abscisse la durée de location, de 0 à 8 heures (une graduation par demi-heure), en ordonnée le prix payé, de 0 à 280 € (une graduation tous les 10 €). La droite de la société A part de l’origine et passe par les points (1 ; 30), (2 ; 60), (5 ; 150) et (8 ; 240)

Répondre aux questions ci-dessous à l’aide du graphique. Aucune justification n’est attendue pour les questions a) et b).

1. a. Quel prix va-t-on payer en louant un bateau pour $2$ heures ?

Corrigé

Le point de la droite d’abscisse $2$ a pour ordonnée $60$ : on paie $60$ €.

1. b. On dispose d’un budget de $100$ €, combien d’heures entières peut-on louer un bateau ?

Corrigé

$3$ heures coûtent $90$ € et $4$ heures coûtent $120$ €, plus que le budget. On peut louer le bateau $3$ heures au plus.

1. c. Expliquer pourquoi le prix est proportionnel à la durée de location.

Corrigé

Le prix est représenté par une droite qui passe par l’origine du repère : c’est la représentation d’une situation de proportionnalité.

1. d. En déduire à l’aide d’un calcul, le prix à payer pour une durée de location de $10$ heures.

Corrigé

Le prix est proportionnel à la durée et $2$ heures coûtent $60$ €, soit $60 \div 2 = 30$ € par heure :

10 \times 30 = 300 \text{ €}

(Autre calcul : $10$ heures, c’est $5$ fois $2$ heures, donc $5 \times 60 = 300$ €.)

2. Étude du tarif proposé par la société B

La société B propose le tarif suivant : $60$ € de frais de dossier plus $15$ € par heure de location.

2. a. Montrer qu’en louant un bateau pour une durée de $2$ heures, le prix à payer sera de $90$ €.

Corrigé

60 + 15 \times 2 = 60 + 30 = 90 \text{ €}

2. b. On désigne par $x$ le nombre d’heures de location. On appelle $f$ la fonction qui, au nombre d’heures de location, associe le prix, en euro, avec le tarif proposé par la société B. On admet que $f$ est définie par : $f(x) = 15x + 60$ . Sur le graphique donné en annexe à rendre avec la copie, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ .

Corrigé

$f$ est une fonction affine : sa représentation est une droite. Deux points suffisent, un troisième sert de contrôle :

$x$	$0$	$4$	$8$
$f(x)$	$60$	$120$	$180$

Le graphique de l’annexe complété : la droite de la société B passe par (0 ; 60), (4 ; 120) et (8 ; 180) ; elle coupe la droite de la société A au point (4 ; 120), repéré en pointillés sur les deux axes

2. c. Le prix payé est-il proportionnel à la durée de location ?

Corrigé

Non. La droite de la société B ne passe pas par l’origine : $f(0) = 60 \neq 0$ , à cause des frais de dossier. Par exemple, $2$ heures coûtent $90$ € et $4$ heures $120$ € : la durée double, mais pas le prix.

3. Comparaison des deux tarifs

3. a. On souhaite louer un bateau pour une durée de $3$ heures. Quelle société doit-on choisir pour avoir le tarif le moins cher ? Quel prix va-t-on payer dans ce cas ?

Corrigé

Société A : $3 \times 30 = 90$ €.
Société B : $f(3) = 15 \times 3 + 60 = 105$ €.

Il faut choisir la société A, et on paie $90$ €.

3. b. Pour quelle durée de location le prix payé est-il identique pour les deux sociétés ?

Corrigé

Les deux droites se coupent au point de coordonnées $(4 \;;\; 120)$ . Par le calcul, le prix de la société A est $30x$ :

30x = 15x + 60 \iff 15x = 60 \iff x = 4

Pour une location de $4$ heures, les deux sociétés font payer le même prix, $120$ €. En dessous de $4$ heures, la société A est la moins chère ; au-delà, c’est la société B.

Sujet officiel

23GENMATG11 · session 2023

Diplôme national du brevet 2023, mathématiques, série générale, centres étrangers du groupe 1PDF officiel ↗