Brevet 2023 de maths (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

On peut le trouver en divisant par les nombres premiers dans l’ordre : $780 = 2 \times 390 = 2 \times 2 \times 195 = 2 \times 2 \times 3 \times 65 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 13$, et $13$ est premier.

$\dfrac{1}{32}$.

Le tirage se fait au hasard : les $32$ cartes ont la même chance d’être tirées, et une seule est le $8$ de pique.

$\dfrac{11}{32}$.

Il y a $8$ cœurs et $4$ rois, mais le roi de cœur est compté deux fois : $8 + 4 - 1 = 11$ cartes conviennent. La probabilité vaut donc $\dfrac{11}{32}$.

On utilise la double distributivité :

Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur. La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $60$ cm et $80$ cm :

La hauteur du prisme (la distance entre les deux bases) est $120$ cm :

Le côté de $100$ cm (l’hypoténuse de la base) ne sert pas au calcul.

$1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$, donc :

Dans un agrandissement de coefficient $3$, les longueurs sont multipliées par $3$ et les aires par $3^2 = 9$ :

L’aire du polygone 2 est $99$ cm² (et non $33$ cm² : multiplier l’aire par $3$ est l’erreur classique).

Le plus long côté du triangle $LNA$ est $[AN]$. On calcule séparément :

On a $AN^2 = LN^2 + AL^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $LNA$ est rectangle en $L$ (le sommet opposé au plus long côté).

D’après le codage, $(OH) \perp (LN)$, et d’après la question 1, $(AL) \perp (LN)$. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(OH) \parallel (AL)$.

Les points $N$, $O$, $L$ sont alignés, ainsi que les points $N$, $H$, $A$, et $(OH) \parallel (LA)$. D’après le théorème de Thalès :

La longueur $OH$ est bien égale à $7{,}2$ cm.

Dans le triangle $LNA$ rectangle en $L$, $[LN]$ est le côté adjacent à l’angle $\widehat{LNA}$ et $[NA]$ est l’hypoténuse :

À la calculatrice (touche $\cos^{-1}$, ou Arccos), on obtient $\widehat{LNA} \approx 67{,}38°$, soit $\widehat{LNA} \approx 67°$ à l’unité près.

On trouve la même valeur avec $\tan \widehat{LNA} = \dfrac{AL}{LN} = \dfrac{12}{5}$ ou $\sin \widehat{LNA} = \dfrac{AL}{NA} = \dfrac{12}{13}$.

Les deux triangles ont les mêmes angles :

• l’angle $\widehat{N}$ est commun aux deux triangles ($\widehat{ONH} = \widehat{LNA}$, puisque $O$ est sur $[NL]$ et $H$ sur $[NA]$) ;
• chacun a un angle droit : $\widehat{NLA}$ (question 1) et $\widehat{NOH}$ (codage) ;
• le troisième angle est donc égal aussi, car la somme des angles d’un triangle vaut $180°$.

Deux triangles qui ont leurs angles deux à deux égaux sont semblables.

On peut aussi le voir avec les longueurs : d’après l’égalité de Thalès de la question 2, $\dfrac{NO}{NL} = \dfrac{NH}{NA} = \dfrac{OH}{LA} = \dfrac{3}{5}$ ; les côtés du triangle $ONH$ sont donc proportionnels à ceux du triangle $LNA$, avec le coefficient $\dfrac{3}{5}$.

L’aire du quadrilatère $LOHA$ est celle du triangle $LNA$ moins celle du triangle $ONH$, tous deux rectangles :

Vérification : $LOHA$ est un trapèze rectangle de bases $AL = 12$ cm et $OH = 7{,}2$ cm, et de hauteur $LO = 5 - 3 = 2$ cm : $\dfrac{(12 + 7{,}2) \times 2}{2} = 19{,}2$ cm².

L’aire du quadrilatère $LOHA$ représente $64\,\%$ de l’aire du triangle $LNA$ (soit $\dfrac{16}{25}$).

Autre méthode : le triangle $ONH$ est une réduction du triangle $LNA$ de coefficient $\dfrac{3}{5}$, donc son aire en représente $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25} = 36\,\%$ ; il reste $100\,\% - 36\,\% = 64\,\%$.

Environ $300\,000$ visiteurs : le haut de la barre de 2010 est au niveau de la graduation $300\,000$.

En 2019 : c’est la barre la plus haute (un peu plus de $400\,000$ visiteurs).

On calcule le taux d’évolution entre 2020 et 2021 :

Le nombre de visiteurs a progressé d’environ $17\,\%$, ce qui est plus que $15\,\%$ : l’objectif a été atteint.

Autre méthode : une hausse de $15\,\%$ aurait donné $187\,216 \times 1{,}15 = 215\,298{,}4$ visiteurs, et $219\,042 > 215\,298{,}4$.

L’étendue est la différence entre le prix le plus élevé et le prix le plus bas :

L’étendue des prix facturés est de $440$ €.

C’est une moyenne pondérée par les effectifs. L’effectif total est :

La somme des prix facturés est :

La moyenne des prix facturés pour une nuit est d’environ $134$ €.

Les nuits facturées à moins de $100$ € sont celles à $60$, $80$, $85$ et $90$ € :

La moitié des nuits correspond à $\dfrac{8\,350}{2} = 4\,175$ nuits, et $4\,650 > 4\,175$. L’annonce est vraie.

On peut aussi passer par la médiane : avec $8\,350$ valeurs, c’est la moyenne des $4\,175^{\text{e}}$ et $4\,176^{\text{e}}$ valeurs rangées dans l’ordre croissant. Les effectifs cumulés valent $1\,200$, $2\,550$, $3\,550$ puis $4\,650$ : ces deux valeurs sont égales à $90$ €. La médiane, $90$ €, est inférieure à $100$ €.

Remarque : la moyenne ($134$ €) est bien plus élevée, tirée vers le haut par les nuits à $350$ et $500$ €. Elle ne permet pas de répondre à cette question.

Avec $1$ cm pour $5$ pas : $KL = \dfrac{35}{5} = 7$ cm et $LM = \dfrac{20}{5} = 4$ cm.

• On trace le segment $[KL]$ de $7$ cm.
• Au rapporteur, on trace en $L$ un angle $\widehat{KLM}$ de $120°$, et on place $M$ sur ce côté à $4$ cm de $L$.
• Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur : on trace à partir de $M$, vers la gauche, la parallèle à $(KL)$ et on y place $N$ tel que $MN = 7$ cm. On peut aussi reporter $KN = 4$ cm et $MN = 7$ cm au compas.

On vérifie que l’angle en $M$ mesure $60°$ et celui en $K$ aussi : dans un parallélogramme, deux angles consécutifs ont pour somme $180°$ ($120° + 60° = 180°$).

• Ligne 4 : $35$ ;
• ligne 5 : $60$ ;
• ligne 6 : $20$ ;
• ligne 7 : $120$.

Le lutin part de $K$ vers la droite et trace $[KL]$ ($35$ pas). En $L$, il doit tourner vers la gauche de l’angle qui complète l’angle intérieur à $180°$ : $180° - 120° = 60°$. Il trace alors $[LM]$ ($20$ pas), puis tourne en $M$ de $180° - 60° = 120°$. La boucle, répétée $2$ fois, trace ensuite $[MN]$ et $[NK]$. Au total, le lutin a tourné de $2 \times (60° + 120°) = 360°$ : il revient en $K$, orienté vers la droite.

$5$ : le motif « Fleur » compte $5$ pétales, et chaque passage dans la boucle en trace un.

Les $5$ pétales sont répartis régulièrement autour du centre. Après chaque pétale, le lutin, revenu au centre dans sa direction de départ, tourne pour tracer le suivant. En $5$ rotations, il doit faire un tour complet, soit $360°$ :

Chaque pétale est donc tourné de $72°$ par rapport au précédent.

• Ligne 2 : répéter $12$ fois ;
• ligne 4 : tourner ↻ de $30$ degrés.

Le nouveau motif compte $12$ pétales, et $360 \div 12 = 30$.

Les deux demi-cercles de rayon $40$ m forment un cercle complet de rayon $40$ m, dont le périmètre est $2 \times \pi \times 40 = 80\pi$ m. On ajoute les deux lignes droites :

Un tour de piste mesure bien environ $1\,951$ m.

$2$ min $9$ s $= 2 \times 60 + 9 = 129$ s.

La vitesse moyenne du cheval est d’environ $15$ m/s.

En $1$ heure, soit $3\,600$ s, le cheval parcourt $15 \times 3\,600 = 54\,000$ m, soit $54$ km. Sa vitesse est donc d’environ $54$ km/h.

(Pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par $3{,}6$. En partant de la valeur non arrondie, $15{,}12 \times 3{,}6 \approx 54{,}4$ km/h : on retrouve environ $54$ km/h.)

Pour chaque marque, on calcule le nombre de sacs nécessaires, arrondi à l’unité supérieure (un sac de moins laisserait une partie de la piste sans gazon), puis le coût :

• Marque A : $73\,027 \div 500 \approx 146{,}05$, il faut $147$ sacs : $147 \times 141{,}95 = 20\,866{,}65$ € ;
• Marque B : $73\,027 \div 400 \approx 182{,}57$, il faut $183$ sacs : $183 \times 87{,}90 = 16\,085{,}70$ € ;
• Marque C : $73\,027 \div 300 \approx 243{,}42$, il faut $244$ sacs : $244 \times 66{,}50 = 16\,226$ €.

Il faut choisir la marque B, pour un coût de $16\,085{,}70$ €.

Remarque : ici, « la surface de la piste » désigne toute la surface délimitée par la piste, formée d’un rectangle de $850$ m sur $80$ m et de deux demi-disques de rayon $40$ m : $850 \times 80 + \pi \times 40^2 = 68\,000 + 1\,600\pi \approx 73\,027$ m². L’énoncé donne cette aire : on n’a pas à la calculer.