Brevet · session 2022 · Métropole, La Réunion, Mayotte, Antilles et Guyane, série générale

Brevet 2022 de maths (métropole, Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2022, métropole et Antilles-Guyane (22GENMATMEAG1) : Thalès à la rivière, QCM, cartes et diviseurs, aires et Scratch, fuite d’eau.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2022). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : largeur d’une rivière, Thalès, Pythagore et vitesse (20 points)

Une famille se promène au bord d’une rivière.

Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.

Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points $C$ , $E$ et $D$ , de même que $A$ , $E$ et $B$ sont alignés. (Le schéma n’est pas à l’échelle.)

1. Démontrer que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.

Corrigé

D’après le codage du schéma, l’angle en $A$ est droit : la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ .

L’angle en $B$ est droit aussi : la droite $(BD)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ .

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.

2. Déterminer, en nombre de pas, la largeur $AC$ de la rivière.

Corrigé

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent en $E$ , et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles (question 1). D’après le théorème de Thalès :

\dfrac{EA}{EB} = \dfrac{EC}{ED} = \dfrac{AC}{BD} \qquad\text{donc}\qquad \dfrac{20}{5} = \dfrac{AC}{1}

AC = \dfrac{20 \times 1}{5} = 4

La rivière a une largeur de $4$ pas.

Pour les questions qui suivent, on assimile la longueur d’un pas à $65$ cm.

3. Montrer que la longueur $CE$ vaut $13{,}3$ m, en arrondissant au décimètre près.

Corrigé

En mètres : $AE = 20 \times 0{,}65 = 13$ m et $AC = 4 \times 0{,}65 = 2{,}6$ m.

Le triangle $ACE$ est rectangle en $A$ : son hypoténuse est $[CE]$ . D’après le théorème de Pythagore :

CE^2 = AC^2 + AE^2 = 2{,}6^2 + 13^2 = 6{,}76 + 169 = 175{,}76

CE = \sqrt{175{,}76} \approx 13{,}257 \text{ m}

Arrondie au décimètre, c’est-à-dire au dixième de mètre, la longueur $CE$ vaut bien $13{,}3$ m.

4. L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point $E$ . Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en $5$ secondes jusqu’au point $C$ .

4. a. Calculer la vitesse du bâton en m/s.

Corrigé

Le bâton parcourt $CE \approx 13{,}3$ m en $5$ s :

v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{13{,}3}{5} = 2{,}66 \text{ m/s}

La vitesse du bâton est d’environ $2{,}66$ m/s. (Avec la valeur non arrondie de $CE$ , on trouve environ $2{,}65$ m/s.)

4. b. Est-il vrai que « le bâton se déplace à une vitesse moyenne inférieure à $10$ km/h » ?

Corrigé

Il y a $3\,600$ secondes dans une heure. En une heure, à cette vitesse, le bâton parcourrait :

2{,}66 \times 3\,600 = 9\,576 \text{ m, soit } 9{,}576 \text{ km}

Sa vitesse est donc d’environ $9{,}6$ km/h, et $9{,}6 < 10$ . L’affirmation est vraie. (Avec la valeur non arrondie, on trouve environ $9{,}5$ km/h : la conclusion ne change pas.)

Exercice 2 : QCM (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

Question 1

On considère les deux figures suivantes.

Par quelle transformation la figure 2 est-elle l’image de la figure 1 ?

A	B	C
Une translation	Une homothétie	Une symétrie axiale

Corrigé

La figure 2 a la même forme, la même taille et la même orientation que la figure 1 : elle a simplement « glissé ». Les flèches qui relient $B$ à $B'$ , $A$ à $A'$ et $E$ à $E'$ sont parallèles, de même sens et de même longueur ( $3$ carreaux vers la droite et $1$ vers le bas).

Réponse A : c’est une translation. Une symétrie axiale retournerait la figure, comme dans un miroir ; une homothétie de rapport différent de $1$ changerait sa taille, ou la ferait tourner d’un demi-tour (rapport $-1$ ).

Question 2

On considère la représentation graphique de la fonction $g$ suivante :

Repère quadrillé, abscisses de −1 à 4, ordonnées de −1 à 5, un petit carreau valant 0,2 sur chaque axe. La droite représentant g passe par l’origine et par les points de coordonnées (1 ; 2) et (2 ; 4)

Quel est l’antécédent de $2$ par la fonction $g$ ?

A	B	C
$2$	$1$	$4$

Corrigé

On cherche l’abscisse du point de la droite d’ordonnée $2$ . On part de $2$ sur l’axe des ordonnées, on rejoint la droite, puis on descend sur l’axe des abscisses : on lit $1$ . En effet, $g(1) = 2$ .

Réponse B. (La réponse C, $4$ , est l’image de $2$ : $g(2) = 4$ .)

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par :

f : x \mapsto 3x^2 - 7

Quelle affirmation est correcte ?

A	B	C
$29$ est l’image de $2$ par la fonction $f$ .	$f(3) = 20$	$f$ est une fonction affine.

Corrigé

f(3) = 3 \times 3^2 - 7 = 3 \times 9 - 7 = 27 - 7 = 20

Réponse B.

A est fausse : $f(2) = 3 \times 2^2 - 7 = 12 - 7 = 5$ . ( $29$ s’obtiendrait en calculant $(3 \times 2)^2 - 7 = 36 - 7$ : l’exposant ne porte que sur $x$ .)
C est fausse : $f(x)$ contient $x^2$ , elle ne s’écrit pas $ax + b$ .

Question 4

On a relevé les performances, en mètres, obtenues au lancer du poids par un groupe de $13$ élèves d’une classe.

$3{,}41$ m ; $5{,}25$ m ; $5{,}42$ m ; $4{,}3$ m ; $6{,}11$ m ; $4{,}28$ m ; $5{,}15$ m ; $3{,}7$ m ; $6{,}07$ m ; $5{,}82$ m ; $4{,}62$ m ; $4{,}91$ m ; $4{,}01$ m

Quelle est la médiane de cette série de valeurs ?

A	B	C
$7$	$4{,}91$	$5{,}15$

Corrigé

On range les $13$ valeurs dans l’ordre croissant :

$3{,}41$ ; $3{,}7$ ; $4{,}01$ ; $4{,}28$ ; $4{,}3$ ; $4{,}62$ ; $\mathbf{4{,}91}$ ; $5{,}15$ ; $5{,}25$ ; $5{,}42$ ; $5{,}82$ ; $6{,}07$ ; $6{,}11$

L’effectif est impair : la médiane est la valeur du milieu, la $7^\text{e}$ , avec $6$ valeurs avant et $6$ après.

Réponse B : la médiane est $4{,}91$ m. (La réponse A, $7$ , est le rang de la médiane, pas sa valeur ; la réponse C, $5{,}15$ , est la $7^\text{e}$ valeur de la liste non rangée.)

Question 5

On considère la configuration suivante, dans laquelle les triangles $LAC$ et $BUT$ sont semblables.

Deux triangles. Le petit triangle LAC a pour côtés LA = 2,1 cm, AC = 2,4 cm et LC = 2,5 cm. Le grand triangle BUT a pour côtés BU = 6,3 cm, UT = 7,2 cm et BT = 7,5 cm

Par quel nombre doit-on multiplier l’aire du triangle $LAC$ pour obtenir l’aire du triangle $BUT$ ?

A	B	C
$3$	$6$	$9$

Corrigé

On compare les côtés correspondants, du plus petit au plus grand :

\dfrac{6{,}3}{2{,}1} = 3 \qquad \dfrac{7{,}2}{2{,}4} = 3 \qquad \dfrac{7{,}5}{2{,}5} = 3

Le triangle $BUT$ est un agrandissement de rapport $3$ du triangle $LAC$ . Dans un agrandissement de rapport $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ : ici par $3^2 = 9$ .

Réponse C. (La réponse A, $3$ , est le coefficient des longueurs, pas celui des aires.)

Exercice 3 : cartes Pokémon, diviseurs et probabilité (20 points)

Une collectionneuse compte ses cartes Pokémon afin de les revendre.

Elle possède $252$ cartes de type « feu » et $156$ cartes de type « terre ».

1. a. Parmi les trois propositions suivantes, laquelle correspond à la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $252$ :

Proposition 1	Proposition 2	Proposition 3
$2^2 \times 9 \times 7$	$2 \times 2 \times 3 \times 21$	$2^2 \times 3^2 \times 7$

Corrigé

Les trois produits valent bien $252$ , mais une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers :

proposition 1 : $9 = 3 \times 3$ n’est pas premier ;
proposition 2 : $21 = 3 \times 7$ n’est pas premier ;
proposition 3 : $2$ , $3$ et $7$ sont premiers.

252 = 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 63 = 2 \times 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3^2 \times 7

C’est la proposition 3.

1. b. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $156$ .

Corrigé

On divise successivement par les nombres premiers :

156 = 2 \times 78 = 2 \times 2 \times 39 = 2 \times 2 \times 3 \times 13

$13$ est premier, donc :

156 = 2^2 \times 3 \times 13

2. Elle veut réaliser des paquets identiques, c’est-à-dire contenant chacun le même nombre de cartes « terre » et le même nombre de cartes « feu » en utilisant toutes ses cartes.

2. a. Peut-elle faire $36$ paquets ?

Corrigé

Pour faire $36$ paquets identiques avec toutes les cartes, $36$ doit diviser à la fois $252$ et $156$ .

$252 = 36 \times 7$ : les cartes « feu » se répartissent bien. Mais $156 = 36 \times 4 + 12$ : il resterait $12$ cartes « terre ».

Non, elle ne peut pas faire $36$ paquets.

2. b. Quel est le nombre maximum de paquets qu’elle peut réaliser ?

Corrigé

Le nombre de paquets doit être un diviseur commun de $252$ et de $156$ ; on cherche le plus grand. D’après les décompositions de la question 1 :

252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 \qquad 156 = 2^2 \times 3 \times 13

On garde les facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun avec le plus petit exposant : $2^2$ et $3$ . Le plus grand diviseur commun est $2^2 \times 3 = 12$ .

Elle peut réaliser au maximum $12$ paquets.

(Les diviseurs communs de $252$ et $156$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ et $12$ .)

2. c. Combien de cartes de chaque type contient alors chaque paquet ?

Corrigé

252 \div 12 = 21 \qquad 156 \div 12 = 13

Chaque paquet contient $21$ cartes « feu » et $13$ cartes « terre ».

3. Elle choisit une carte au hasard parmi toutes ses cartes. On suppose les cartes indiscernables au toucher.

Calculer la probabilité que ce soit une carte de type « terre ».

Corrigé

Elle possède $252 + 156 = 408$ cartes, et chaque carte a la même chance d’être choisie (situation d’équiprobabilité). Il y a $156$ cartes « terre » :

p = \dfrac{156}{408} = \dfrac{13 \times 12}{34 \times 12} = \dfrac{13}{34} \approx 0{,}38

La probabilité de tirer une carte « terre » est $\dfrac{13}{34}$ , soit environ $0{,}38$ .

Exercice 4 : aires, calcul littéral et Scratch (20 points)

Dans cet exercice, $x$ est un nombre strictement supérieur à $3$ .

On s’intéresse aux deux figures géométriques dessinées ci-dessous :

un rectangle dont les côtés ont pour longueurs $x - 3$ et $x + 7$ ;
un carré de côté $x$ .

À gauche, un rectangle dont la largeur est notée x − 3 et la longueur x + 7. À droite, un carré dont les côtés sont notés x

1. Quatre propositions sont écrites ci-dessous.

Recopier sur la copie celle qui correspond à l’aire du carré. On ne demande pas de justifier.

$4x$	$4 + x$	$x^2$	$2x$

Corrigé

L’aire d’un carré de côté $x$ est $x \times x$ , c’est-à-dire $x^2$ . (La proposition $4x$ est son périmètre.)

2. Montrer que l’aire du rectangle est égale à : $x^2 + 4x - 21$ .

Corrigé

L’aire du rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. On développe avec la double distributivité :

(x - 3)(x + 7) = x \times x + x \times 7 - 3 \times x - 3 \times 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21

L’aire du rectangle est bien $x^2 + 4x - 21$ .

3. On a écrit le script ci-dessous dans Scratch.

On veut que ce programme renvoie l’aire du rectangle lorsque l’utilisateur a rentré une valeur de $x$ (strictement supérieure à $3$ ).

Écrire sur la copie les contenus des trois cases vides des lignes 5, 6 et 7, en précisant les numéros de lignes qui correspondent à vos réponses.

1  quand la touche [espace] est pressée
2  demander [Combien vaut x ?] et attendre
3  mettre [x] à (réponse)
4  mettre [R] à ((x) * (x))
5  ajouter ((…) * (x)) à [R]
6  ajouter (…) à [R]
7  dire (regrouper [L'aire du rectangle est] et (…)) pendant (2) secondes

Corrigé

Le programme construit $x^2 + 4x - 21$ dans la variable $R$ : la ligne 4 y met $x^2$ , la ligne 5 doit ajouter $4x$ , la ligne 6 doit ajouter $-21$ (ajouter $-21$ , c’est soustraire $21$ ), et la ligne 7 doit afficher $R$ .

5  ajouter ((4) * (x)) à [R]
6  ajouter (-21) à [R]
7  dire (regrouper [L'aire du rectangle est] et (R)) pendant (2) secondes

4. On a pressé la touche espace puis saisi le nombre $8$ . Que renvoie le programme ?

Corrigé

Avec $x = 8$ , la variable $R$ prend successivement les valeurs :

8 \times 8 = 64 \qquad 64 + 4 \times 8 = 96 \qquad 96 - 21 = 75

Le programme affiche « L’aire du rectangle est 75 » pendant $2$ secondes.

Vérification : le rectangle mesure alors $8 - 3 = 5$ sur $8 + 7 = 15$ , et $5 \times 15 = 75$ .

5. Quel nombre $x$ doit-on choisir pour que l’aire du rectangle soit égale à l’aire du carré ?

Toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte.

Corrigé

On cherche $x$ tel que les deux aires soient égales :

x^2 + 4x - 21 = x^2

On soustrait $x^2$ aux deux membres :

4x - 21 = 0 \qquad\text{donc}\qquad 4x = 21 \qquad\text{donc}\qquad x = \dfrac{21}{4} = 5{,}25

$5{,}25$ est bien strictement supérieur à $3$ . Il faut choisir $x = 5{,}25$ .

Vérification : le rectangle mesure $2{,}25$ sur $12{,}25$ , d’aire $2{,}25 \times 12{,}25 = 27{,}5625$ , et le carré a pour aire $5{,}25^2 = 27{,}5625$ .

Exercice 5 : fuite d’eau, volume d’un cylindre et pourcentage (20 points)

Dans une habitation, la consommation d’eau peut être anormalement élevée lorsqu’il y a une fuite d’eau.

On considère la situation suivante :

Une salle de bain est équipée d’une vasque de forme cylindrique, comme l’illustre l’image ci-dessous.
Le robinet fuit à raison d’une goutte par seconde.
En moyenne, $20$ gouttes d’eau correspondent à un millilitre ( $1$ ml).

(La photo du sujet, qui montre une vasque cylindrique posée sur un plan de toilette, sous un robinet mural, n’est pas reproduite.)

Caractéristiques de la vasque :

Diamètre intérieur : $40$ cm

Hauteur intérieure : $15$ cm

Masse : $25$ kg

Rappels :

Volume du cylindre $= \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}$

$1 \text{ dm}^3 = 1$ litre

1. En raison de la fuite, montrer qu’il tombe $86\,400$ gouttes dans la vasque en une journée complète.

Corrigé

Il tombe une goutte par seconde. Une journée compte $24$ heures de $60$ minutes de $60$ secondes :

24 \times 60 \times 60 = 24 \times 3\,600 = 86\,400 \text{ s}

Il tombe donc bien $86\,400$ gouttes en une journée.

2. Calculer, en litres, le volume d’eau qui tombe dans la vasque en une semaine en raison de la fuite.

Corrigé

En une semaine ( $7$ jours), il tombe :

86\,400 \times 7 = 604\,800 \text{ gouttes}

$20$ gouttes font $1$ ml :

604\,800 \div 20 = 30\,240 \text{ ml} = 30{,}24 \text{ L}

Il tombe $30{,}24$ litres d’eau en une semaine.

3. Montrer que la vasque a un volume de $18{,}85$ litres, arrondi au centilitre près.

Corrigé

Le rayon est la moitié du diamètre : $40 \div 2 = 20$ cm. Pour obtenir directement des litres, on travaille en décimètres : rayon $2$ dm, hauteur $1{,}5$ dm.

V = \pi \times 2^2 \times 1{,}5 = 6\pi \approx 18{,}8496 \text{ dm}^3

Comme $1 \text{ dm}^3 = 1$ L, la vasque a un volume d’environ $18{,}8496$ L, soit $18{,}85$ L arrondi au centilitre (au centième de litre).

4. L’évacuation de la vasque est fermée et le logement inoccupé pendant une semaine. L’eau va-t-elle déborder de la vasque ? Justifier la réponse.

Corrigé

En une semaine, il tombe $30{,}24$ L d’eau (question 2), alors que la vasque ne peut en contenir qu’environ $18{,}85$ L (question 3).

$30{,}24 > 18{,}85$ : oui, l’eau va déborder.

Pour aller plus loin : il tombe $86\,400 \div 20 = 4\,320$ ml, soit $4{,}32$ L par jour. La vasque est pleine au bout de $18{,}85 \div 4{,}32 \approx 4{,}4$ jours, bien avant la fin de la semaine. (La masse de la vasque, $25$ kg, ne sert pas.)

5. À la fin du XIX^e siècle, la consommation domestique d’eau par habitant en France était d’environ $17$ litres par jour. Elle a fortement augmenté avec la généralisation de la distribution d’eau par le robinet dans les domiciles : elle est passée à $165$ litres par jour et par habitant en $2004$ .

En $2018$ , la consommation des Français baisse légèrement pour atteindre $148$ litres d’eau par jour et par habitant.

Calculer le pourcentage de diminution de la consommation quotidienne d’eau par habitant entre $2004$ et $2018$ . On arrondira ce pourcentage à l’unité.

Corrigé

La baisse est de $165 - 148 = 17$ litres. On la rapporte à la valeur de départ, celle de $2004$ :

\dfrac{17}{165} \approx 0{,}103 = 10{,}3\ \%

La consommation quotidienne d’eau par habitant a diminué d’environ $10\ \%$ entre $2004$ et $2018$ .

Piège : on divise par $165$ (la valeur de $2004$ ), pas par $148$ . Le chiffre de la fin du XIX^e siècle ne sert pas ici. (Par coïncidence, la baisse de $17$ litres est égale à la consommation de l’époque.)

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