Brevet · session 2022 · Centres étrangers (groupe 1), série générale

Brevet 2022 de maths (centres étrangers, groupe 1) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2022, centres étrangers du groupe 1 (22GENMATG11) : QCM fonction affine, statistiques du Paris-Nice, Thalès, Scratch, diviseurs et volumes.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2022). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 : QCM sur une fonction affine, calcul littéral et triangle (19 points)

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Recopier le numéro de la question et indiquer, sans justifier dans cette partie seulement, la réponse choisie.

Dans toute cette partie, on considère la fonction définie par :

f(x) = 2x + 3

1. La représentation graphique de cette fonction est :

Les trois représentations graphiques proposées, dans un repère gradué de −2 à 3 en abscisse et de −2 à 5 en ordonnée. Réponse A : une droite qui monte, passe par (0 ; 3) et (1 ; 5) et coupe l’axe des abscisses en −1,5. Réponse B : la droite horizontale d’équation y = 3. Réponse C : une droite qui monte et passe par l’origine et par (1 ; 2)

Corrigé

$f$ est une fonction affine de coefficient $2$ et d’ordonnée à l’origine $3$ : sa représentation est une droite qui passe par le point $(0 \;;\; 3)$ et qui monte de $2$ unités quand on avance de $1$ unité. Par exemple, $f(1) = 2 \times 1 + 3 = 5$ : elle passe aussi par $(1 \;;\; 5)$ .

Réponse A. La réponse B représente la fonction constante égale à $3$ , la réponse C la fonction linéaire $x \mapsto 2x$ (elle passe par l’origine).

2. L’image de $-2$ par la fonction $f$ est…

Réponse A	Réponse B	Réponse C
$-7$	$-1$	$3$

Corrigé

f(-2) = 2 \times (-2) + 3 = -4 + 3 = -1

Réponse B.

3. Dans cette feuille de calcul extraite d’un tableur, la formule à saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer vers la droite est :

	A	B	C
1	$x$	$-2$	$-1$
2	$f(x)$

Réponse A	Réponse B	Réponse C
`= 2*A1 + 3`	`=2*B1 + 3`	`= 2*(-2) + 3`

Corrigé

La cellule B2 doit contenir l’image du nombre écrit en B1 : la formule est =2*B1 + 3, réponse B. Étirée vers la droite, elle devient =2*C1 + 3 en C2, et ainsi de suite.

La réponse A utilise la cellule A1, qui contient le texte « $x$ » et non un nombre. La réponse C donne bien $-1$ en B2, mais avec le nombre $-2$ écrit en dur : étirée vers la droite, elle donnerait $-1$ partout.

Partie B

1. Montrer que : $(2x - 1)(3x + 4) - 2x = 6x^2 + 3x - 4$ .

Corrigé

On développe le produit par double distributivité, puis on réduit :

\begin{aligned} (2x - 1)(3x + 4) - 2x &= 2x \times 3x + 2x \times 4 - 1 \times 3x - 1 \times 4 - 2x \\ &= 6x^2 + 8x - 3x - 4 - 2x \\ &= 6x^2 + 3x - 4 \end{aligned}

2. On considère le triangle $CDE$ tel que : $CD = 3{,}6$ cm ; $CE = 4{,}2$ cm et $DE = 5{,}5$ cm. Le triangle $CDE$ est-il rectangle ?

Corrigé

Le plus long côté est $[DE]$ . On compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres :

DE^2 = 5{,}5^2 = 30{,}25

CD^2 + CE^2 = 3{,}6^2 + 4{,}2^2 = 12{,}96 + 17{,}64 = 30{,}6

$DE^2 \neq CD^2 + CE^2$ . Si le triangle était rectangle, ce serait en $C$ , et l’égalité de Pythagore serait vraie : d’après le théorème de Pythagore (par contraposée), le triangle $CDE$ n’est pas rectangle.

Exercice 2 : le Paris-Nice, statistiques, pourcentage, durée et vitesse (20 points)

Le Paris-Nice est une course cycliste qui se déroule chaque année et qui mène les coureurs de la région parisienne à la région niçoise. L’édition 2021 s’est déroulée en $7$ étapes décrites ci-dessous :

Étape	Date	Profil	Parcours	Distance
$1$	Dimanche 7 mars	Accidenté	Saint-Cyr-l’École → Saint-Cyr-l’École	$166$ km
$2$	Lundi 8 mars	Plat	Oinville-sur-Montcient → Amilly	$188$ km
$3$	Mercredi 10 mars	Accidenté	Chalon-sur-Saône → Chiroubles	$187{,}5$ km
$4$	Jeudi 11 mars	Plat	Vienne → Bollène	$200$ km
$5$	Vendredi 12 mars	Accidenté	Brignoles → Biot	$202{,}5$ km
$6$	Samedi 13 mars	Montagneux	Le Broc → Valdeblore La Colmiane	$119{,}5$ km
$7$	Dimanche 14 mars	Accidenté	Le Plan-du-Var → Levens	$93$ km

1. On étudie la série des distances parcourues par étape.

1. a. Calculer la distance moyenne parcourue par étape, arrondie au dixième de km.

Corrigé

166 + 188 + 187{,}5 + 200 + 202{,}5 + 119{,}5 + 93 = 1\,156{,}5 \text{ km}

\dfrac{1\,156{,}5}{7} \approx 165{,}21

La distance moyenne est d’environ $165{,}2$ km par étape.

1. b. Calculer la médiane des distances parcourues par étape.

Corrigé

On range les $7$ distances dans l’ordre croissant :

93 \;;\; 119{,}5 \;;\; 166 \;;\; 187{,}5 \;;\; 188 \;;\; 200 \;;\; 202{,}5

L’effectif est impair : la médiane est la $4^{\text{e}}$ valeur, avec trois valeurs avant et trois après. La médiane est $187{,}5$ km.

1. c. Calculer l’étendue de la série formée par les distances parcourues par étape.

Corrigé

202{,}5 - 93 = 109{,}5

L’étendue est de $109{,}5$ km.

2. Un journaliste affirme : « Environ $57$ % du nombre total d’étapes de cette édition se sont déroulées sur un parcours accidenté. » A-t-il raison ? Expliquer votre réponse.

Corrigé

Les étapes $1$ , $3$ , $5$ et $7$ ont un profil accidenté : $4$ étapes sur $7$ .

\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571 = 57{,}1 \%

Le journaliste a raison : environ $57$ % des étapes étaient accidentées.

3. L’Allemand Maximilian SCHACHMANN a remporté la course en $28$ h $50$ min. Le dernier au classement général a effectué l’ensemble du parcours en $30$ h $12$ min. Combien de retard le dernier au classement a-t-il accumulé par rapport au vainqueur ?

Corrigé

De $28$ h $50$ min à $29$ h, il y a $10$ min ; de $29$ h à $30$ h $12$ min, il y a $1$ h $12$ min. Au total :

10 \text{ min} + 1 \text{ h } 12 \text{ min} = 1 \text{ h } 22 \text{ min}

Le dernier a accumulé $1$ h $22$ min de retard sur le vainqueur.

4. L’Irlandais Sam BENNETT a remporté la première étape en $3$ h $51$ min. Déterminer sa vitesse moyenne en km/h, arrondie à l’unité, lors de cette étape.

Corrigé

La première étape mesure $166$ km. On convertit la durée en heures : $51$ min $= \dfrac{51}{60}$ h $= 0{,}85$ h, donc $3$ h $51$ min $= 3{,}85$ h.

v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{166}{3{,}85} \approx 43{,}12 \text{ km/h}

Sa vitesse moyenne est d’environ $43$ km/h.

Exercice 3 : trigonométrie, Thalès et aire d’un triangle (21 points)

On considère la figure suivante, où toutes les longueurs sont données en centimètre. Les points $C$ , $A$ et $E$ sont alignés et les points $B$ , $A$ et $D$ sont alignés. La figure n’est pas représentée en vraie grandeur.

Deux droites horizontales parallèles en apparence, (CB) en bas et (DE) en haut, coupées par la droite verticale (BD) et par la droite oblique (CE), qui se croisent en A, entre les deux. Angle droit codé en B ; l’angle CAB est marqué 60° ; AC = 8, AD = 9,6 et AE = 19,2

1. Prouver que le segment $[AB]$ mesure $4$ cm.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ (codage de la figure), d’hypoténuse $[AC]$ . Dans ce triangle, $[AB]$ est le côté adjacent à l’angle $\widehat{CAB}$ :

\cos \widehat{CAB} = \dfrac{AB}{AC}, \quad \text{donc} \quad AB = AC \times \cos 60° = 8 \times 0{,}5 = 4

Le segment $[AB]$ mesure bien $4$ cm.

2. En utilisant la question précédente, démontrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Corrigé

Les points $B$ , $A$ , $D$ sont alignés, ainsi que $C$ , $A$ , $E$ , dans le même ordre (le point $A$ est entre $B$ et $D$ , et entre $C$ et $E$ ). On compare les rapports :

\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{9{,}6}{4} = 2{,}4 \qquad \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{19{,}2}{8} = 2{,}4

Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

3. En déduire que la droite $(DB)$ est perpendiculaire à la droite $(DE)$ .

Corrigé

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : la droite $(DB)$ , qui est la droite $(AB)$ , est perpendiculaire à $(BC)$ .

Or $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles (question 2). Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre : $(DB)$ est perpendiculaire à $(DE)$ .

4. Calculer l’aire du triangle $ADE$ arrondie à l’unité.

Corrigé

D’après la question 3, le triangle $ADE$ est rectangle en $D$ , d’hypoténuse $[AE]$ . On calcule $DE$ avec le théorème de Pythagore :

DE^2 = AE^2 - AD^2 = 19{,}2^2 - 9{,}6^2 = 368{,}64 - 92{,}16 = 276{,}48

DE = \sqrt{276{,}48} \approx 16{,}63 \text{ cm}

L’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l’angle droit :

\mathcal{A} = \dfrac{AD \times DE}{2} = \dfrac{9{,}6 \times \sqrt{276{,}48}}{2} \approx 79{,}8 \text{ cm}^2

L’aire du triangle $ADE$ est d’environ $80 \text{ cm}^2$ .

Autre méthode. Les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{DAE}$ sont opposés par le sommet, donc $\widehat{DAE} = 60°$ et $DE = AD \times \tan 60° \approx 16{,}63$ cm. On peut aussi utiliser Thalès : $DE = 2{,}4 \times BC$ , avec $BC = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} \approx 6{,}93$ cm (Pythagore dans le triangle $ABC$ ).

Exercice 4 : Scratch, parallélogrammes et rosace (15 points)

Dans cet exercice, toutes les longueurs sont exprimées en pixel.

Partie A

Un professeur donne à ses élèves un motif en forme de parallélogramme et le script, en partie rédigé, qui permet de tracer ce motif. On précise que le lutin est au point de départ, comme indiqué sur la figure ci-dessous, et qu’il est orienté vers la droite.

Parallélogramme obtenu :

Parallélogramme dont la base horizontale est en bas, le côté supérieur mesure 40 pixels et le côté oblique de droite 30 pixels ; l’angle au sommet de départ, en bas à gauche, mesure 40°, l’angle en bas à droite 140°. Une flèche marquée Départ arrive sur le sommet en bas à gauche

Script du motif :

définir [Motif]
répéter (2) fois
  avancer de (40)

  (emplacement vide à compléter)

fin de la boucle

Recopier dans le bon ordre, sur votre copie, les instructions suivantes à insérer dans le script du motif permettant de tracer le parallélogramme ci-dessus :

avancer de (30)
tourner ↺ de (40) degrés
tourner ↺ de (140) degrés

Corrigé

Le lutin part du sommet en bas à gauche, vers la droite, et trace la base de $40$ pixels. Au sommet en bas à droite, l’angle du parallélogramme mesure $140°$ : pour repartir le long du côté oblique, le lutin tourne vers la gauche de $180° - 140° = 40°$ . Il trace ce côté de $30$ pixels. Au sommet suivant, l’angle mesure $40°$ : il tourne de $180° - 40° = 140°$ . La boucle recommence pour les deux autres côtés.

définir [Motif]
répéter (2) fois
  avancer de (40)
  tourner ↺ de (40) degrés
  avancer de (30)
  tourner ↺ de (140) degrés

Après deux passages, le lutin a tourné de $2 \times (40° + 140°) = 360°$ : il est revenu au point de départ, de nouveau orienté vers la droite.

Partie B

Le professeur demande ensuite à ses élèves d’intégrer ce script dans un programme de leur choix permettant de tracer des figures composées de plusieurs de ces motifs. Voici les programmes écrits par deux élèves.

Programme de l'élève A                   Programme de l'élève B
quand [flèche droite] est pressé         quand [espace] est pressé
effacer tout                             effacer tout
aller à x: (-230) y: (-170)              aller à x: (0) y: (0)
s'orienter à (90)                        stylo en position d'écriture
répéter (9) fois                         répéter (9) fois
  stylo en position d'écriture             Motif
  Motif                                    tourner ↺ de (40) degrés
  relever le stylo                       relever le stylo
  avancer de (50)

On rappelle que « s’orienter à 90 » signifie que l’on est orienté vers la droite.

1. Quelle action au clavier permet de lancer le programme de l’élève B ?

Corrigé

Le programme de l’élève B commence par « quand espace est pressé » : on le lance en appuyant sur la barre d’espace.

2. Parmi les figures suivantes, indiquer, ici sans justifier :

2. a. laquelle est obtenue avec le programme de l’élève A ?

Corrigé

Figure 1. Le lutin trace un motif, relève le stylo et avance de $50$ pixels vers la droite avant le motif suivant. Chaque motif a une base de $40$ pixels : il reste $50 - 40 = 10$ pixels entre deux parallélogrammes, qui ne se touchent pas. Pour obtenir des parallélogrammes accolés (figure 3), il faudrait avancer de $40$ .

2. b. laquelle est obtenue avec le programme de l’élève B ?

Corrigé

Figure 4. Le lutin ne se déplace pas entre deux motifs : chaque parallélogramme part du point $(0 \;;\; 0)$ , puis le lutin tourne de $40°$ . Les neuf motifs ont donc un sommet commun au centre, et $9 \times 40° = 360°$ : ils font un tour complet.

Exercice 5 : boîtes de truffes, diviseurs communs et volumes (25 points)

Pour fêter les $25$ ans de sa boutique, un chocolatier souhaite offrir aux premiers clients de la journée une boîte contenant des truffes au chocolat.

1. Il a confectionné $300$ truffes : $125$ truffes parfumées au café et $175$ truffes enrobées de noix de coco. Il souhaite fabriquer ces boîtes de sorte que :

le nombre de truffes parfumées au café soit le même dans chaque boîte ;
le nombre de truffes enrobées de noix de coco soit le même dans chaque boîte ;
toutes les truffes soient utilisées.

1. a. Décomposer $125$ et $175$ en produit de facteurs premiers.

Corrigé

125 = 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3

175 = 5 \times 35 = 5 \times 5 \times 7 = 5^2 \times 7

1. b. En déduire la liste des diviseurs communs à $125$ et $175$ .

Corrigé

Les diviseurs de $125$ sont $1$ , $5$ , $25$ et $125$ . Parmi eux, $125$ ne divise pas $175$ ( $175 = 5^2 \times 7$ ne contient que deux facteurs $5$ ). Les diviseurs communs à $125$ et $175$ sont $1$ , $5$ et $25$ .

1. c. Quel nombre maximal de boîtes pourra-t-il réaliser ?

Corrigé

Le nombre de boîtes doit diviser $125$ (truffes au café réparties également) et $175$ (truffes à la noix de coco réparties également) : c’est un diviseur commun. Le plus grand est $25$ : il pourra réaliser au maximum $25$ boîtes.

1. d. Dans ce cas, combien y aura-t-il de truffes de chaque sorte dans chaque boîte ?

Corrigé

125 \div 25 = 5 \qquad 175 \div 25 = 7

Chaque boîte contiendra $5$ truffes au café et $7$ truffes à la noix de coco, soit $12$ truffes.

2. Le chocolatier souhaite fabriquer des boîtes contenant $12$ truffes. Pour cela, il a le choix entre deux types de boîtes qui peuvent contenir les $12$ truffes, et dont les caractéristiques sont données ci-dessous :

Les deux types de boîtes. Type A : pyramide à base carrée de côté 4,8 cm et de hauteur 5 cm. Type B : pavé droit de longueur 5 cm, de largeur 3,5 cm et de hauteur 3,5 cm

Dans cette question, chacune des $12$ truffes est assimilée à une boule de diamètre $1{,}5$ cm.

À l’intérieur d’une boîte, pour que les truffes ne s’abîment pas pendant le transport, le volume occupé par les truffes doit être supérieur au volume non occupé par les truffes.

Quel(s) type(s) de boîte le chocolatier doit-il choisir pour que cette condition soit respectée ?

Rappels :

le volume d’une boule de rayon $r$ est : $\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ ;
le volume d’une pyramide est : $\dfrac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ ;
le volume d’un pavé droit est : $\text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$ .

Corrigé

Volume des truffes. Le rayon d’une truffe est $1{,}5 \div 2 = 0{,}75$ cm.

V_{\text{truffe}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 0{,}75^3 = 0{,}5625\pi \approx 1{,}767 \text{ cm}^3

V_{\text{truffes}} = 12 \times 0{,}5625\pi = 6{,}75\pi \approx 21{,}21 \text{ cm}^3

Boîte de type A (pyramide) :

V_A = \dfrac{4{,}8^2 \times 5}{3} = \dfrac{23{,}04 \times 5}{3} = 38{,}4 \text{ cm}^3

Volume non occupé : $38{,}4 - 21{,}21 \approx 17{,}19 \text{ cm}^3$ , moins que les $21{,}21 \text{ cm}^3$ occupés par les truffes. La condition est respectée.

Boîte de type B (pavé droit) :

V_B = 5 \times 3{,}5 \times 3{,}5 = 61{,}25 \text{ cm}^3

Volume non occupé : $61{,}25 - 21{,}21 \approx 40{,}04 \text{ cm}^3$ , plus que les $21{,}21 \text{ cm}^3$ occupés par les truffes. La condition n’est pas respectée.

Le chocolatier doit choisir la boîte de type A.

Autre façon de voir. La condition revient à dire que les truffes occupent plus de la moitié de la boîte : $21{,}21 > 38{,}4 \div 2 = 19{,}2$ pour le type A, mais $21{,}21 < 61{,}25 \div 2 = 30{,}625$ pour le type B.

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