Brevet 2022 de maths (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

D’après le codage, le triangle $MHS$ est rectangle en $H$ ; son hypoténuse est $[MS]$. D’après le théorème de Pythagore :

$HS$ est une longueur, donc $HS = \sqrt{144} = 12$ cm.

D’après le codage, $(HS) \perp (HT)$ et $(AT) \perp (HT)$. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : $(HS) \parallel (AT)$.

Les points $H$, $M$, $T$ sont alignés, ainsi que les points $S$, $M$, $A$, et $(HS) \parallel (TA)$. D’après le théorème de Thalès :

La longueur $AT$ est égale à $16{,}8$ cm.

Dans le triangle $MHS$ rectangle en $H$, $[HS]$ est le côté opposé à l’angle $\widehat{HMS}$ et $[MH]$ le côté adjacent :

À la calculatrice (touche $\tan^{-1}$), on obtient $\widehat{HMS} \approx 67{,}38°$, soit $\widehat{HMS} \approx 67°$ au degré près.

On trouve la même valeur avec $\cos \widehat{HMS} = \dfrac{MH}{MS} = \dfrac{5}{13}$ ou $\sin \widehat{HMS} = \dfrac{HS}{MS} = \dfrac{12}{13}$.

Une homothétie (de centre $M$ et de rapport $-1{,}4$).

Le triangle $MAT$ a les mêmes angles que le triangle $MHS$, mais ses côtés sont $1{,}4$ fois plus longs ($\dfrac{7}{5} = \dfrac{16{,}8}{12} = 1{,}4$) : il n’a pas les mêmes dimensions. Or une symétrie, une rotation ou une translation conservent les longueurs. Seule l’homothétie agrandit la figure. Son rapport est négatif, car $M$ est situé entre $H$ et son image $T$, et entre $S$ et son image $A$.

Les deux triangles sont rectangles ; on calcule leurs aires avec les côtés de l’angle droit :

Or $30 \times 1{,}4 = 42$ et $42 \neq 58{,}8$. L’affirmation est fausse.

En fait, $\dfrac{58{,}8}{30} = 1{,}96 = 1{,}4^2$ : quand les longueurs sont multipliées par $1{,}4$, les aires sont multipliées par $1{,}4^2$.

On prend $81\,\%$ de $1{,}6$ million, soit $1\,600\,000$ :

$1\,296\,000$ adolescents (environ $1{,}3$ million) ne respectent pas cette recommandation.

La plus grande durée est $1$ h $40$ min, soit $100$ min (jour 4) ; la plus petite est $0$ min (jour 14) :

L’étendue des durées est de $100$ min, soit $1$ h $40$ min.

On convertit les durées en minutes et on les range dans l’ordre croissant :

Il y a $14$ valeurs, un nombre pair : une médiane est comprise entre la $7^{\text{e}}$ valeur ($50$ min) et la $8^{\text{e}}$ ($60$ min). On prend en général leur moyenne :

Une médiane de ces durées est $55$ min : au moins la moitié des jours, l’adolescent a fait $55$ min ou moins, et au moins la moitié des jours, $55$ min ou plus. (Toute durée comprise entre $50$ et $60$ min convient aussi, d’où la formulation « une médiane ».)

On additionne les $14$ durées, en minutes :

En moyenne, il a fait $50$ min de pratique physique par jour, moins que l’heure visée ($60$ min) : il n’a pas atteint son objectif.

Autre méthode : pour atteindre l’objectif, il lui aurait fallu au moins $14 \times 60 = 840$ min au total, et $700 < 840$.

Pour une moyenne d’au moins $1$ h, soit $60$ min, par jour sur $21$ jours, la durée totale doit être d’au moins :

Il a déjà fait $700$ min pendant les $14$ premiers jours. Il lui reste au minimum :

Comme $560 = 9 \times 60 + 20$, il doit prévoir au minimum $560$ min, soit $9$ h $20$ min, sur les $7$ derniers jours (en moyenne $80$ min, soit $1$ h $20$ min, par jour).

À l’échelle $1$ cm pour $20$ pas : $60$ pas correspondent à $60 \div 20 = 3$ cm et $80$ pas à $80 \div 20 = 4$ cm.

Le lutin part vers la droite et trace $3$ cm, tourne d’un quart de tour vers la gauche et trace $4$ cm vers le haut, puis la boucle recommence : $3$ cm vers la gauche, $4$ cm vers le bas. On obtient un rectangle de $3$ cm de large sur $4$ cm de haut, dont le coin en bas à gauche est le point de départ.

$d = 40$ pas.

Le bloc « rectangle » ramène le lutin à son point de départ, orienté vers la droite (il a tourné $4$ fois de $90°$, soit un tour complet). La ligne 10 le fait alors avancer de $100$ pas vers la droite, stylo relevé : le rectangle suivant commence $100$ pas plus loin. Comme le premier rectangle occupe déjà $60$ pas en largeur :

$\dfrac{1}{2}$.

Le lutin dessine une croix lorsque le nombre aléatoire entre $1$ et $2$ vaut $1$, et un rectangle lorsqu’il vaut $2$ : les deux nombres ont la même chance d’être tirés.

Chacun des trois motifs est une croix ou un rectangle : il y a $2 \times 2 \times 2 = 8$ affichages possibles.

$\dfrac{1}{4}$.

Le joueur gagne avec deux des $8$ affichages, qui sont équiprobables : trois croix, ou trois rectangles. La probabilité qu’il gagne est donc $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.

nombre aléatoire entre (1) et (3) = (1)

Le nombre est alors tiré au hasard parmi $1$, $2$ et $3$. Le lutin dessine une croix s’il vaut $1$ (probabilité $\dfrac{1}{3}$) et un rectangle sinon, c’est-à-dire s’il vaut $2$ ou $3$ (probabilité $\dfrac{2}{3}$) : il y a bien deux fois plus de chances d’obtenir un rectangle qu’une croix.

D’autres réponses conviennent, comme nombre aléatoire entre (1) et (3) = (2) ou nombre aléatoire entre (2) et (4) = (3) : il faut un tirage parmi trois entiers, dont un seul donne une croix. En revanche, nombre aléatoire entre (1) et (4) = (1) donnerait une croix une fois sur $4$, soit trois fois plus de chances d’obtenir un rectangle, et non deux.

$15^2 = 225$, puis $225 + 15 = 240$. On obtient bien $240$.

=A2^2+A2 (ou =A2*A2+A2).

La formule part du nombre de départ, écrit dans la cellule A2 de la même ligne : en l’étirant vers le bas, A2 devient A3, A4, etc. Elle commence par le signe =, sans lequel le tableur afficherait le texte au lieu de calculer.

Le carré du nombre de départ est $x^2$ ; on lui ajoute le nombre de départ :

• Avec le programme de calcul : $9^2 + 9 = 81 + 9 = 90$.
• Avec l’affirmation : l’entier qui suit $9$ est $10$, et $9 \times 10 = 90$.

On obtient le même résultat, $90$ : l’affirmation est vraie pour $9$ (on le lit aussi à la ligne 11 du tableur).

Soit $x$ le nombre entier choisi au départ. L’entier qui le suit est $x + 1$. On développe le produit proposé par l’affirmation :

On retrouve l’expression de la question 3 : pour tout entier $x$, le résultat du programme est égal à $x(x + 1)$. L’affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.

D’après la question 5, le nombre obtenu est $x(x + 1)$ : c’est le produit de deux entiers consécutifs. Or, de deux entiers consécutifs, l’un est forcément pair :

• si $x$ est pair, il s’écrit $x = 2k$ avec $k$ entier, et $x(x + 1) = 2 \times k(x + 1)$ ;
• si $x$ est impair, alors $x + 1$ est pair : il s’écrit $x + 1 = 2k$ avec $k$ entier, et $x(x + 1) = x \times 2k = 2 \times (x \times k)$.

Dans les deux cas, le nombre obtenu est le double d’un entier : c’est un nombre pair, quel que soit le nombre entier choisi au départ.

On le constate dans le tableur : $0$, $2$, $6$, $12$, $20$, $30$, … sont tous pairs.