Brevet · session 2021 · Métropole, La Réunion, Mayotte, Antilles et Guyane, série générale

Brevet 2021 de maths (métropole, Antilles-Guyane) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2021, métropole et Antilles-Guyane (21GENMATMEAG1) : tableur, diviseurs et Thalès, QCM, programme de calcul et Scratch, composteur.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2021). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

L’annexe (exercice 4, question 3) est à rendre avec la copie : elle est reprise ici dans la question concernée.

Indications portant sur l’ensemble du sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : températures à Tours, tableur et pourcentage (20 points)

Cette feuille de calcul présente les températures moyennes mensuelles à Tours en 2019.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N
1	Mois	J	F	M	A	M	J	J	A	S	O	N	D	Moyenne sur l’année
2	Température en °C	4,4	7,8	9,6	11,2	13,4	19,4	22,6	20,5	17,9	14,4	8,2	7,8

1. D’après le tableau ci-dessus, quelle a été la température moyenne à Tours en novembre 2019 ?

Corrigé

Novembre est le mois « N », dans la colonne L : la température moyenne à Tours en novembre 2019 a été de $8{,}2$ °C.

2. Déterminer l’étendue de cette série.

Corrigé

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. La plus grande est $22{,}6$ °C (juillet), la plus petite $4{,}4$ °C (janvier) :

22{,}6 - 4{,}4 = 18{,}2

L’étendue de la série est de $18{,}2$ °C.

3. Quelle formule doit-on saisir en cellule N2 pour calculer la température moyenne annuelle ?

Corrigé

Les douze températures sont dans les cellules B2 à M2. On peut saisir :

=MOYENNE(B2:M2)

ou, de façon équivalente, =SOMME(B2:M2)/12. La formule commence par le signe =, sans lequel le tableur afficherait le texte au lieu de calculer.

4. Vérifier que la température moyenne annuelle est $13{,}1$ °C.

Corrigé

On additionne les douze températures :

4{,}4 + 7{,}8 + 9{,}6 + 11{,}2 + 13{,}4 + 19{,}4 + 22{,}6 + 20{,}5 + 17{,}9 + 14{,}4 + 8{,}2 + 7{,}8 = 157{,}2

puis on divise par le nombre de mois :

\dfrac{157{,}2}{12} = 13{,}1

La température moyenne annuelle est bien de $13{,}1$ °C (valeur exacte, sans arrondi).

5. La température moyenne annuelle à Tours en 2009 était de $11{,}9$ °C.

Le pourcentage d’augmentation entre 2009 et 2019, arrondi à l’unité, est-il de : $7\ \%$ ; $10\ \%$ ou $13\ \%$ ? Justifier la réponse.

Corrigé

La température a augmenté de $13{,}1 - 11{,}9 = 1{,}2$ °C. On rapporte cette hausse à la valeur de départ, celle de 2009 :

\dfrac{1{,}2}{11{,}9} \approx 0{,}1008 = 10{,}08\ \%

Arrondi à l’unité, le pourcentage d’augmentation est de $10\ \%$ .

Vérification : $11{,}9 \times 1{,}10 = 13{,}09$ , très proche de $13{,}1$ . Piège : on divise par $11{,}9$ (la valeur de 2009), pas par $13{,}1$ .

Exercice 2 : Futuroscope, diviseurs communs et Thalès (20 points)

Le Futuroscope est un parc de loisirs situé dans la Vienne. L’année 2019 a enregistré $1{,}9$ million de visiteurs.

1. Combien aurait-il fallu de visiteurs en plus en 2019 pour atteindre $2$ millions de visiteurs ?

Corrigé

2\,000\,000 - 1\,900\,000 = 100\,000

Il aurait fallu $100\,000$ visiteurs de plus (soit $0{,}1$ million).

2. L’affirmation « Il y a eu environ $5\,200$ visiteurs par jour en 2019 » est-elle vraie ? Justifier la réponse.

Corrigé

L’année 2019 n’est pas bissextile : elle compte $365$ jours. En moyenne, il y a eu par jour :

\dfrac{1\,900\,000}{365} \approx 5\,205 \text{ visiteurs}

$5\,205$ est bien proche de $5\,200$ : l’affirmation est vraie (il s’agit d’une moyenne sur l’année).

3. Un professeur organise une sortie pédagogique au Futuroscope pour ses élèves de troisième. Il veut répartir les $126$ garçons et les $90$ filles par groupes. Il souhaite que chaque groupe comporte le même nombre de filles et le même nombre de garçons.

3. a. Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $126$ et $90$ .

Corrigé

On divise successivement par les nombres premiers :

126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 \qquad\text{donc}\qquad 126 = 2 \times 3^2 \times 7

90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \qquad\text{donc}\qquad 90 = 2 \times 3^2 \times 5

3. b. Trouver tous les entiers qui divisent à la fois les nombres $126$ et $90$ .

Corrigé

Un diviseur commun ne peut contenir que des facteurs premiers présents dans les deux décompositions, et chacun au plus autant de fois que dans chacune d’elles : $2$ une fois au plus, $3$ deux fois au plus ( $7$ et $5$ sont exclus). Les diviseurs communs de $126$ et $90$ sont donc les diviseurs de $2 \times 3^2 = 18$ .

Les entiers qui divisent à la fois $126$ et $90$ sont $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $9$ et $18$ .

On peut le vérifier avec les listes complètes :

diviseurs de $126$ : $1$ , $2$ , $3$ , $6$ , $7$ , $9$ , $14$ , $18$ , $21$ , $42$ , $63$ , $126$ ;
diviseurs de $90$ : $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $6$ , $9$ , $10$ , $15$ , $18$ , $30$ , $45$ , $90$ .

3. c. En déduire le plus grand nombre de groupes que le professeur pourra constituer. Combien de filles et de garçons y aura-t-il alors dans chaque groupe ?

Corrigé

Le nombre de groupes doit diviser à la fois $126$ (pour répartir tous les garçons) et $90$ (pour répartir toutes les filles). Le plus grand diviseur commun est $18$ : le professeur pourra constituer au maximum $18$ groupes.

126 \div 18 = 7 \qquad 90 \div 18 = 5

Chaque groupe comptera alors $7$ garçons et $5$ filles.

4. Deux élèves de 3^e, Marie et Adrien, se souviennent avoir vu en mathématiques que les hauteurs inaccessibles pouvaient être déterminées avec l’ombre. Ils souhaitent calculer la hauteur de la Gyrotour du Futuroscope.

Marie se place comme indiqué sur la figure ci-dessous, de telle sorte que son ombre coïncide avec celle de la tour. Après avoir effectué plusieurs mesures, Adrien effectue le schéma ci-dessous (le schéma n’est pas à l’échelle), sur lequel les points $A$ , $E$ et $B$ ainsi que les points $A$ , $D$ et $C$ sont alignés.

Calculer la hauteur $BC$ de la Gyrotour.

(Le sujet montre une photo de la Gyrotour derrière le segment $[BC]$ et une silhouette de Marie sur le segment $[DE]$ .)

Corrigé

D’après le codage, les droites $(DE)$ et $(CB)$ sont toutes les deux perpendiculaires à la droite $(AC)$ : elles sont donc parallèles entre elles.

Les points $A$ , $D$ , $C$ d’une part et $A$ , $E$ , $B$ d’autre part sont alignés, et $(DE)$ est parallèle à $(CB)$ . D’après le théorème de Thalès dans les triangles $ADE$ et $ACB$ :

\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{DE}{CB}

Le point $D$ est entre $A$ et $C$ , donc $AC = AD + DC = 2 + 54{,}25 = 56{,}25$ m. On a alors :

\dfrac{2}{56{,}25} = \dfrac{1{,}6}{BC} \qquad\text{donc}\qquad BC = \dfrac{56{,}25 \times 1{,}6}{2} = \dfrac{90}{2} = 45

La Gyrotour mesure $45$ m de haut.

Piège : la longueur à utiliser est $AC = 56{,}25$ m, et non $DC = 54{,}25$ m.

Exercice 3 : QCM, probabilités et transformations (20 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée. Pour chaque question, trois réponses (A, B et C) sont proposées. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse.

Partie A : tirage dans une urne

Une urne contient $7$ jetons verts, $4$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $2$ jetons jaunes. Les jetons sont indiscernables au toucher. On pioche un jeton au hasard dans cette urne.

1. À quel événement correspond une probabilité de $\dfrac{7}{16}$ ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C
Obtenir un jeton de couleur rouge ou jaune.	Obtenir un jeton qui n’est pas vert.	Obtenir un jeton vert.

Corrigé

L’urne contient $7 + 4 + 3 + 2 = 16$ jetons, qui ont tous la même chance d’être piochés. Il y a $7$ jetons verts, donc la probabilité d’obtenir un jeton vert est $\dfrac{7}{16}$ .

Réponse C.

A : il y a $4 + 2 = 6$ jetons rouges ou jaunes, probabilité $\dfrac{6}{16}$ .
B : il y a $16 - 7 = 9$ jetons qui ne sont pas verts, probabilité $\dfrac{9}{16}$ .

2. Quelle est la probabilité de ne pas tirer un jeton bleu ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C
$\dfrac{13}{16}$	$\dfrac{3}{16}$	$\dfrac{3}{4}$

Corrigé

Il y a $3$ jetons bleus sur $16$ , donc $16 - 3 = 13$ jetons qui ne sont pas bleus. La probabilité de ne pas tirer un jeton bleu est :

\dfrac{13}{16} \qquad\left(\text{ou } 1 - \dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}\right)

Réponse A. (La réponse B, $\dfrac{3}{16}$ , est la probabilité de tirer un jeton bleu.)

Partie B : les vingt motifs

On considère la figure suivante, composée de vingt motifs numérotés de $1$ à $20$ , dans laquelle :

$\widehat{AOB} = 36°$ ;
le motif $11$ est l’image du motif $1$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $2$ .

3. Quelle est l’image du motif $20$ par la symétrie d’axe la droite $(d)$ ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C
Le motif $17$ .	Le motif $15$ .	Le motif $12$ .

Corrigé

La droite $(d)$ est horizontale : la symétrie d’axe $(d)$ échange le haut et le bas de la figure, sans changer la gauche et la droite. Le motif $20$ est en haut à gauche, juste à gauche du motif $11$ ; son image est en bas à gauche, juste à gauche du motif $16$ : c’est le motif $17$ .

Réponse A. (Le motif $15$ est son symétrique par rapport au point $O$ , le motif $12$ son symétrique par rapport à la droite verticale qui passe par $O$ .)

4. Par quelle rotation le motif $3$ est-il l’image du motif $1$ ?

Réponse A	Réponse B	Réponse C
Une rotation de centre $O$ , et d’angle $36°$ .	Une rotation de centre $O$ , et d’angle $72°$ .	Une rotation de centre $O$ , et d’angle $90°$ .

Corrigé

Les dix petits motifs se partagent le tour complet autour de $O$ : on passe d’un motif au suivant par une rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{360°}{10} = 36°$ (c’est l’angle $\widehat{AOB}$ ). Pour aller du motif $1$ au motif $3$ , on avance de deux motifs : $2 \times 36° = 72°$ , dans le sens des aiguilles d’une montre.

Réponse B.

5. L’aire du motif $11$ est-elle égale :

Réponse A	Réponse B	Réponse C
au double de l’aire du motif $1$ ?	à $4$ fois l’aire du motif $1$ .	à la moitié de l’aire du motif $1$ .

Corrigé

Le motif $11$ est l’image du motif $1$ par une homothétie de rapport $2$ : ses longueurs sont multipliées par $2$ , donc son aire est multipliée par $2^2 = 4$ .

Réponse B. (Le double, réponse A, concerne les longueurs, pas l’aire.)

Exercice 4 : programme de calcul, Scratch et équation produit (20 points)

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre.

Prendre le carré du nombre de départ.

Ajouter le triple du nombre de départ.

Soustraire $10$ au résultat.

1. Vérifier que si on choisit $4$ comme nombre de départ, on obtient $18$ .

Corrigé

4^2 = 16 \qquad 16 + 3 \times 4 = 16 + 12 = 28 \qquad 28 - 10 = 18

On obtient bien $18$ .

2. Appliquer ce programme de calcul au nombre $-3$ .

Corrigé

(-3)^2 = 9 \qquad 9 + 3 \times (-3) = 9 - 9 = 0 \qquad 0 - 10 = -10

Avec $-3$ au départ, on obtient $-10$ .

Piège : le carré de $-3$ est $(-3) \times (-3) = 9$ , un nombre positif.

3. Vous trouverez ci-dessous un script, écrit avec Scratch.

1  quand le drapeau est cliqué
2  demander [Choisis un nombre] et attendre
3  mettre [x] à (Réponse)
4  mettre [y] à ((x) * (x))
5  mettre [z] à ((y) + ((…) * (…)))
6  mettre [Résultat] à ((…) - (…))
7  dire (regroupe [Le nombre final est] et (Résultat)) pendant (2) secondes

Compléter les lignes 5 et 6 pour que ce script corresponde au programme de calcul (sur l’annexe, à rendre avec la copie).

Corrigé

La ligne 4 met le carré du nombre de départ dans $y$ . La ligne 5 doit lui ajouter le triple du nombre de départ, $3 \times x$ ; la ligne 6 doit soustraire $10$ au résultat, rangé dans $z$ .

5  mettre [z] à ((y) + ((3) * (x)))
6  mettre [Résultat] à ((z) - (10))

À la ligne 5, (x) * (3) convient aussi.

4. On veut déterminer le nombre à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.

4. a. On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.

Corrigé

Le carré de $x$ est $x^2$ , on lui ajoute le triple de $x$ , $3x$ , puis on soustrait $10$ . Le résultat final est :

x^2 + 3x - 10

4. b. Vérifier que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x + 5)(x - 2)$ .

Corrigé

On développe avec la double distributivité :

(x + 5)(x - 2) = x \times x - x \times 2 + 5 \times x - 5 \times 2 = x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10

On retrouve bien le résultat de la question 4. a.

4. c. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour obtenir le nombre $0$ à l’arrivée ?

Corrigé

On résout $(x + 5)(x - 2) = 0$ . Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

x + 5 = 0 \quad\text{ou}\quad x - 2 = 0 \qquad\text{donc}\qquad x = -5 \quad\text{ou}\quad x = 2

Il faut choisir $-5$ ou $2$ au départ.

Vérification : $(-5)^2 + 3 \times (-5) - 10 = 25 - 15 - 10 = 0$ et $2^2 + 3 \times 2 - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$ .

Exercice 5 : déchets, composteur, Pythagore et volumes (20 points)

La production annuelle de déchets par Français était de $5{,}2$ tonnes par habitant en 2007. Entre 2007 et 2017, elle a diminué de $6{,}5\ \%$ .

1. De combien de tonnes la production annuelle de déchets par Français en 2017 a-t-elle diminué par rapport à l’année 2007 ?

Corrigé

La baisse représente $6{,}5\ \%$ de la production de 2007 :

5{,}2 \times \dfrac{6{,}5}{100} = 5{,}2 \times 0{,}065 = 0{,}338

La production annuelle de déchets par Français a diminué de $0{,}338$ tonne, soit $338$ kg. (Elle est donc passée à $5{,}2 - 0{,}338 = 4{,}862$ tonnes en 2017.)

2. Pour continuer à diminuer leur production de déchets, de nombreuses familles utilisent désormais un composteur.

Une de ces familles a choisi le modèle ci-dessous, composé d’un pavé droit et d’un prisme droit (la figure du composteur n’est pas à l’échelle). Le descriptif indique qu’il a une contenance d’environ $0{,}5$ m³. On souhaite vérifier cette information.

Le trapèze ABCD seul. Le petit côté [DA] mesure 39 cm et le grand côté [CB] 67 cm ; ils sont parallèles. Le côté oblique [CD] mesure 53 cm. Le côté [AB], la hauteur, est perpendiculaire aux deux bases : angles droits codés en A et en B. H est le pied de la hauteur issue de D sur [CB], avec un angle droit codé en H.

Rappels :

$\text{Aire du trapèze} = \dfrac{(\text{Petit côté} + \text{Grand côté}) \times \text{Hauteur}}{2}$

$\text{Volume du prisme droit} = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}$

$\text{Volume du pavé droit} = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$

2. a. Dans le trapèze $ABCD$ , calculer la longueur $CH$ .

Corrigé

Le quadrilatère $ABHD$ a trois angles droits (en $A$ , en $B$ et en $H$ ) : c’est un rectangle. Ses côtés opposés ont la même longueur, donc $HB = DA = 39$ cm.

Le point $H$ est sur le segment $[CB]$ :

CH = CB - HB = 67 - 39 = 28

La longueur $CH$ vaut $28$ cm.

2. b. Montrer que la longueur $DH$ est égale à $45$ cm.

Corrigé

Le triangle $CHD$ est rectangle en $H$ ; son hypoténuse est $[CD]$ . D’après le théorème de Pythagore :

CD^2 = CH^2 + DH^2 \qquad\text{donc}\qquad DH^2 = CD^2 - CH^2 = 53^2 - 28^2 = 2\,809 - 784 = 2\,025

DH = \sqrt{2\,025} = 45

La longueur $DH$ est bien égale à $45$ cm.

2. c. Vérifier que l’aire du trapèze $ABCD$ est de $2\,385$ cm².

Corrigé

La hauteur du trapèze est $AB = DH = 45$ cm (côtés opposés du rectangle $ABHD$ ). Avec la formule rappelée :

\mathcal{A} = \dfrac{(39 + 67) \times 45}{2} = \dfrac{106 \times 45}{2} = \dfrac{4\,770}{2} = 2\,385

L’aire du trapèze $ABCD$ est bien de $2\,385$ cm².

2. d. Calculer le volume du composteur.

L’affirmation « il a une contenance d’environ $0{,}5$ m³ » est-elle vraie ? Justifier.

Corrigé

Le prisme droit a pour base le trapèze $ABCD$ et pour hauteur la largeur du composteur, $70$ cm :

V_\text{prisme} = 2\,385 \times 70 = 166\,950 \text{ cm}^3

Le pavé droit mesure $70$ cm de large et $67$ cm de profondeur. Sa hauteur est la hauteur totale, $1{,}1$ m $= 110$ cm, moins la hauteur $AB = 45$ cm du prisme : $110 - 45 = 65$ cm.

V_\text{pavé} = 70 \times 67 \times 65 = 304\,850 \text{ cm}^3

Le composteur a donc pour volume :

V = 166\,950 + 304\,850 = 471\,800 \text{ cm}^3

Comme $1 \text{ m}^3 = 1\,000\,000 \text{ cm}^3$ , cela fait $0{,}4718$ m³, soit environ $0{,}47$ m³.

Arrondi au dixième, $0{,}4718$ m³ donne $0{,}5$ m³ : l’affirmation est vraie, le composteur a bien une contenance d’environ $0{,}5$ m³ (un peu moins, en réalité).

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