Brevet · session 2021 · Amérique du Nord, série générale

Brevet 2021 de maths (Amérique du Nord) : sujet et corrigé

Sujet de maths du brevet 2021, Amérique du Nord (21GENMATAN1) : vrai ou faux, triathlon et vitesses, rotations, motifs à instructions, aires et pourcentages.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format (session 2021). Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

Indication portant sur l’ensemble du sujet : toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 : vrai ou faux (26 points)

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse.

On rappelle que chaque réponse doit être justifiée.

1) On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x - 7$ .

Affirmation n° 1 : « L’image par $f$ du nombre $-1$ est $2$ . »

Corrigé

f(-1) = 3 \times (-1) - 7 = -3 - 7 = -10

L’image de $-1$ par $f$ est $-10$ , et non $2$ . L’affirmation n° 1 est fausse.

( $2$ est en revanche l’image de $3$ : $f(3) = 9 - 7 = 2$ .)

2) On considère l’expression $E = (x - 5)(x + 1)$ .

Affirmation n° 2 : « L’expression $E$ a pour forme développée et réduite $x^2 - 4x - 5$ . »

Corrigé

On développe par double distributivité, puis on réduit :

E = x \times x + x \times 1 - 5 \times x - 5 \times 1 = x^2 + x - 5x - 5 = x^2 - 4x - 5

L’affirmation n° 2 est vraie.

3) $n$ est un nombre entier positif.

Affirmation n° 3 : « Lorsque $n$ est égal à $5$ , le nombre $2^n + 1$ est un nombre premier. »

Corrigé

Pour $n = 5$ :

2^5 + 1 = 32 + 1 = 33

Or $33 = 3 \times 11$ : $33$ est divisible par $3$ , il n’est donc pas premier. L’affirmation n° 3 est fausse.

Attention à ne pas confondre $2^n$ (ici $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ ) avec $2n$ : avec $2 \times 5 + 1 = 11$ , on trouverait à tort un nombre premier.

4) On a lancé $15$ fois un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on a noté les fréquences d’apparition dans le tableau ci-dessous :

Numéro de la face apparente	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Fréquence d’apparition	$\dfrac{3}{15}$	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{5}{15}$	$\dfrac{2}{15}$	$\dfrac{1}{15}$	……

Affirmation n° 4 : « La fréquence d’apparition du $6$ est $0$ . »

Corrigé

La somme des fréquences de toutes les faces est égale à $1$ . Celle des faces $1$ à $5$ vaut déjà :

\dfrac{3}{15} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{5}{15} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{15}{15} = 1

La fréquence d’apparition du $6$ est donc $1 - 1 = 0$ . L’affirmation n° 4 est vraie.

Autrement dit : les faces $1$ à $5$ sont apparues $3 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15$ fois, soit lors des $15$ lancers ; le $6$ n’est jamais sorti.

5) On considère un triangle $RAS$ rectangle en $S$ .

Le côté $[AS]$ mesure $80$ cm et l’angle $\widehat{ARS}$ mesure $26°$ .

Affirmation n° 5 : « Le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm. »

Corrigé

Triangle RAS rectangle en S (angle droit codé) : [RS] horizontal avec R à gauche, [SA] vertical de 80 cm ; l’angle de 26° est marqué au sommet R ; la longueur RS, côté adjacent à cet angle, est cherchée

Dans le triangle $RAS$ rectangle en $S$ , pour l’angle $\widehat{ARS}$ : $[AS]$ est le côté opposé, $[RS]$ le côté adjacent. On utilise la tangente :

\tan \widehat{ARS} = \dfrac{AS}{RS}, \quad \text{soit} \quad \tan 26° = \dfrac{80}{RS}

RS = \dfrac{80}{\tan 26°} \approx 164{,}02 \text{ cm}

Le segment $[RS]$ mesure environ $164$ cm. L’affirmation n° 5 est vraie.

6) Un rectangle $ABCD$ a pour longueur $160$ cm et pour largeur $95$ cm.

Affirmation n° 6 : « Les diagonales de ce rectangle mesurent exactement $186$ cm. »

Corrigé

Un rectangle a quatre angles droits : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ , d’hypoténuse la diagonale $[AC]$ , avec $AB = 160$ cm et $BC = 95$ cm. D’après le théorème de Pythagore :

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 160^2 + 95^2 = 25\,600 + 9\,025 = 34\,625

AC = \sqrt{34\,625} \approx 186{,}08 \text{ cm}

Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : elles mesurent environ $186{,}08$ cm. Or $186^2 = 34\,596$ et $34\,596 \neq 34\,625$ : elles ne mesurent pas exactement $186$ cm. L’affirmation n° 6 est fausse (la valeur $186$ cm n’est qu’un arrondi à l’unité).

Exercice 2 : triathlon, lecture graphique et vitesses (21 points)

Une athlète a réalisé un triathlon d’une longueur totale de $12{,}9$ kilomètres. Les trois épreuves se déroulent dans l’ordre suivant :

Épreuve ①	Épreuve ②	Épreuve ③
Natation	Cyclisme	Course à pied
Distance $= 400$ m		Distance $= 2{,}5$ km

Entre deux épreuves, l’athlète doit effectuer sur place un changement d’équipement.

Le graphique ci-dessous représente la distance parcourue (exprimée en kilomètre) par l’athlète, en fonction du temps de parcours (exprimé en minute) de l’athlète pendant son triathlon.

Le point $M$ a pour abscisse $42$ et pour ordonnée $10{,}4$ .

À l’aide du tableau ci-dessus ou par lecture du graphique ci-dessus avec la précision qu’il permet, répondre aux questions suivantes, en justifiant la démarche.

1) Au bout de combien de temps l’athlète s’est-elle arrêtée pour effectuer son premier changement d’équipement ?

Corrigé

Pendant un changement d’équipement, l’athlète reste sur place : la distance parcourue ne change pas, et la courbe est horizontale. Le premier palier horizontal commence au point d’abscisse $14$ (et d’ordonnée $0{,}4$ , c’est-à-dire $400$ m : la fin de la natation).

L’athlète s’est arrêtée pour son premier changement d’équipement au bout de $14$ minutes.

2) Quelle est la longueur, exprimée en kilomètre, du parcours de l’épreuve de cyclisme ?

Corrigé

Le triathlon mesure $12{,}9$ km en tout. On retire la natation ( $400$ m, soit $0{,}4$ km) et la course à pied ( $2{,}5$ km) :

12{,}9 - 0{,}4 - 2{,}5 = 10

Le parcours de cyclisme mesure $10$ km.

Vérification sur le graphique : l’épreuve de cyclisme commence à la distance $0{,}4$ km et se termine au point $M$ , à la distance $10{,}4$ km, et $10{,}4 - 0{,}4 = 10$ .

3) En combien de temps l’athlète a-t-elle effectué l’épreuve de course à pied ?

Corrigé

Après le point $M$ , le deuxième changement d’équipement (palier horizontal) dure jusqu’à $44$ minutes. La course à pied commence donc à $44$ minutes et se termine à l’arrivée, au point d’abscisse $56$ (et d’ordonnée $12{,}9$ , la longueur totale) :

56 - 44 = 12

L’athlète a effectué la course à pied en $12$ minutes.

4) Parmi les trois épreuves, pendant laquelle l’athlète a été la moins rapide ?

Corrigé

On calcule la vitesse moyenne sur chaque épreuve, en km/h (il y a $60$ minutes dans une heure). Durées lues sur le graphique :

natation : $0{,}4$ km en $14$ min (de $0$ à $14$ min) ; en $60$ min, elle parcourrait $\dfrac{0{,}4 \times 60}{14} \approx 1{,}7$ km, soit une vitesse d’environ $1{,}7$ km/h ;
cyclisme : $10$ km en $42 - 15 = 27$ min ; vitesse : $\dfrac{10 \times 60}{27} \approx 22{,}2$ km/h ;
course à pied : $2{,}5$ km en $12$ min ; vitesse : $\dfrac{2{,}5 \times 60}{12} = 12{,}5$ km/h.

L’athlète a été la moins rapide pendant l’épreuve de natation.

On le voit aussi sur le graphique : c’est sur l’épreuve ① que la courbe monte le moins vite.

5) On considère que les changements d’équipement entre les épreuves font partie du triathlon.

La vitesse moyenne de l’athlète sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à $14$ km/h ?

Corrigé

Changements d’équipement compris, l’athlète a parcouru $12{,}9$ km en $56$ min (du départ à l’arrivée). Sa vitesse moyenne est :

v = \dfrac{12{,}9 \times 60}{56} \approx 13{,}8 \text{ km/h}

Comme $13{,}8 < 14$ , sa vitesse moyenne n’est pas supérieure à $14$ km/h.

Autre méthode : à $14$ km/h, on parcourt en $56$ min une distance de $14 \times \dfrac{56}{60} \approx 13{,}07$ km, plus que les $12{,}9$ km du triathlon.

Exercice 3 : symétries et rotations (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On a construit un carré $ABCD$ .

On a construit le point $O$ sur la droite $(DB)$ , à l’extérieur du segment $[DB]$ et tel que : $OB = AB$ .

Le point $H$ est le symétrique de $D$ par rapport à $O$ .

On a obtenu la figure ci-dessous en utilisant plusieurs fois la même rotation de centre $O$ et d’angle $45°$ .

La figure obtenue est symétrique par rapport à l’axe $(DB)$ et par rapport au point $O$ .

1) Donner deux carrés différents, images l’un de l’autre par la symétrie axiale d’axe $(DB)$ .

Corrigé

Par exemple les carrés ② et ⑧ : ils sont placés de part et d’autre de l’axe vertical $(DB)$ , comme dans un miroir.

Les carrés ③ et ⑦, ainsi que ④ et ⑥, conviennent aussi. En revanche, les carrés ① et ⑤ sont chacun leur propre image (l’axe les coupe en deux) : ils ne répondent pas à la question, qui demande deux carrés différents.

2) Le carré ③ est-il l’image du carré ⑧ par la symétrie centrale de centre $O$ ?

Corrigé

Non. La symétrie de centre $O$ est un demi-tour autour de $O$ , c’est-à-dire une rotation de $180° = 4 \times 45°$ : elle envoie chaque carré quatre places plus loin dans la couronne. L’image du carré ⑧ (en haut à gauche) est le carré ④ (en bas à droite), pas le carré ③.

3) On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré ① en le carré ②.

Quelle est l’image du carré ⑧ par cette rotation ?

Corrigé

L’image du carré ⑧ est le carré ①.

Cette rotation est celle d’angle $45°$ dans le sens des aiguilles d’une montre : elle fait avancer chaque carré d’une place dans l’ordre ① → ② → ③ → … → ⑧ → ①.

4) On considère la rotation de centre $O$ qui transforme le carré ② en le carré ⑤.

Préciser l’image du segment $[EF]$ par cette rotation.

Corrigé

L’image du segment $[EF]$ est le segment $[HI]$ .

Pour passer du carré ② au carré ⑤, on avance de trois places : c’est la rotation de centre $O$ et d’angle $3 \times 45° = 135°$ dans le sens des aiguilles d’une montre. Les points $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ , $I$ , $J$ , $K$ sont les sommets extérieurs des carrés ① à ⑧, tous à la même distance de $O$ et espacés de $45°$ : cette rotation avance aussi chacun d’eux de trois places. Donc $E$ (sommet du carré ②) a pour image $H$ (sommet du carré ⑤), et $F$ (sommet du carré ③) a pour image $I$ (sommet du carré ⑥).

Exercice 4 : motifs et suites d’instructions (16 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

On dispose d’un tableau carré ci-dessous, partagé en neuf cases blanches de mêmes dimensions qui constituent un motif.

Tableau carré de trois cases sur trois, toutes blanches

Quatre instructions A, B, C et E permettent de changer l’aspect de certaines cases, lorsqu’on applique ces instructions. Ainsi :

Instruction	Descriptif
A	La case centrale du motif est noircie.
B	Dans le motif, la case en bas à gauche et la case en haut à droite sont noircies.
C	Dans le motif, la case médiane à gauche et la case médiane à droite sont noircies.
E	Les couleurs du motif sont inversées : les cases blanches deviennent noires et les cases noires deviennent blanches.

Effet de chaque instruction :

Effet des instructions. Instruction A : seule la case centrale est noircie. Instruction B : la case en haut à droite et la case en bas à gauche sont noircies. Instruction C : la case du milieu de la colonne de gauche et celle du milieu de la colonne de droite sont noircies. Instruction E : « Inverser les couleurs »

Remarque : si une case du motif est déjà noire et qu’une instruction demande de la noircir, alors cette case ne change pas de couleur et reste noire à la suite de cette instruction.

Exemples : à partir d’un motif dont toutes les cases sont blanches, la suite d’instructions A C permet d’obtenir le premier motif ci-dessous, et la suite d’instructions A C E permet d’obtenir le second.

Exemples. Suite A C : la ligne du milieu est noire, les lignes du haut et du bas sont blanches. Suite A C E : la ligne du milieu est blanche, les lignes du haut et du bas sont noires

Pour chacune des questions suivantes, on dispose au départ d’un motif dont toutes les cases sont blanches.

1) Représenter le motif obtenu avec la suite d’instructions A B.

Corrigé

A noircit la case centrale, puis B noircit la case en bas à gauche et la case en haut à droite. On obtient une diagonale noire, du coin en bas à gauche au coin en haut à droite :

Motif obtenu : la case en haut à droite, la case centrale et la case en bas à gauche sont noires ; les six autres sont blanches

2) Parmi les quatre propositions suivantes, deux propositions permettent d’obtenir le motif ci-dessous. Lesquelles ?

Motif à obtenir : toutes les cases sont noires sauf la case médiane à gauche et la case médiane à droite, qui sont blanches

Proposition n° 1 : A B C
Proposition n° 2 : C E
Proposition n° 3 : B C E C
Proposition n° 4 : C A E A

Corrigé

Les propositions n° 2 et n° 4.

Proposition n° 2 : C noircit les deux cases médianes à gauche et à droite ; E inverse les couleurs, donc ces deux cases deviennent blanches et les sept autres noires. C’est le motif voulu.
Proposition n° 4 : C, puis A noircissent toute la ligne du milieu ; E inverse : la ligne du milieu devient blanche, les lignes du haut et du bas noires ; A noircit enfin la case centrale. C’est le motif voulu.
Proposition n° 1 : les cases noires sont la case centrale, la case en bas à gauche, la case en haut à droite et les cases médianes à gauche et à droite. Or, dans le motif voulu, les cases médianes à gauche et à droite sont blanches. Ce n’est pas le motif.
Proposition n° 3 : après B C E, les cases noires sont celles du haut à gauche, du haut au milieu, du centre, du bas au milieu et du bas à droite ; le dernier C noircit les cases médianes à gauche et à droite, qui doivent rester blanches. Ce n’est pas le motif.

3) Donner une suite d’instructions qui permet d’obtenir le motif ci-dessous.

Motif à obtenir : la case en haut à droite, la case centrale et la case en bas à gauche sont blanches ; les six autres sont noires

Corrigé

Par exemple la suite A B E (ou B A E).

Les cases blanches du motif voulu sont exactement les cases noires obtenues à la question 1 avec A B : il suffit d’inverser les couleurs de ce motif avec l’instruction E.

Exercice 5 : salle de bain, aires et pourcentages (21 points)

On souhaite rénover une salle de bain qui a la forme d’un parallélépipède rectangle. Il faut coller du papier peint sur les quatre murs. On n’en colle pas sur la porte, ni sur la fenêtre.

Voici un schéma de la salle de bain, les dimensions sont exprimées en mètre :

Salle de bain en perspective cavalière : pavé droit de 3,50 m de long, 2,50 m de profondeur et 2,50 m de hauteur. Sur le mur de devant, une porte rectangulaire de 0,80 m de large et 2,10 m de haut ; sur le mur du fond, en pointillés, une fenêtre rectangulaire de 1,60 m de large et 1,20 m de haut

On dispose des informations suivantes :

Prix du papier peint :

le papier peint est vendu au rouleau entier ;

un rouleau coûte $16{,}95$ € ;

un rouleau permet de recouvrir $5{,}3$ m².

Conseil du vendeur : prévoir $1$ rouleau de papier peint en plus afin de compenser les pertes liées aux découpes.

Prix de la colle :

la colle est vendue au pot entier ;

un pot a une masse de $0{,}2$ kg ;

un pot coûte $5{,}70$ €.

Conseil du vendeur : compter $1$ pot de colle pour $4$ rouleaux de papier peint.

1) Montrer que la surface à recouvrir de papier peint est de $26{,}4$ m².

Corrigé

Les quatre murs sont des rectangles de $2{,}5$ m de haut : deux murs de $3{,}5$ m de long et deux murs de $2{,}5$ m de long.

\mathcal{A}_{\text{murs}} = 2 \times 3{,}5 \times 2{,}5 + 2 \times 2{,}5 \times 2{,}5 = 17{,}5 + 12{,}5 = 30 \text{ m}^2

On retire la porte et la fenêtre, qui ne sont pas recouvertes :

\mathcal{A}_{\text{porte}} = 0{,}8 \times 2{,}1 = 1{,}68 \text{ m}^2 \qquad \mathcal{A}_{\text{fenêtre}} = 1{,}6 \times 1{,}2 = 1{,}92 \text{ m}^2

30 - 1{,}68 - 1{,}92 = 30 - 3{,}6 = 26{,}4 \text{ m}^2

La surface à recouvrir de papier peint est bien de $26{,}4$ m².

2) Calculer le prix, en euro, d’un mètre carré de papier peint. Arrondir au centime d’euro.

Corrigé

Un rouleau, qui couvre $5{,}3$ m², coûte $16{,}95$ € :

\dfrac{16{,}95}{5{,}3} \approx 3{,}198 \text{ €}

Un mètre carré de papier peint coûte environ $3{,}20$ €.

3) Si on suit les conseils du vendeur, combien coûtera la rénovation de la salle de bain ?

Corrigé

Papier peint. Nombre de rouleaux nécessaires pour $26{,}4$ m² :

\dfrac{26{,}4}{5{,}3} \approx 4{,}98

Le papier peint est vendu au rouleau entier : il faut $5$ rouleaux ( $4$ ne couvriraient que $4 \times 5{,}3 = 21{,}2$ m²). Avec le rouleau en plus conseillé par le vendeur, on achète $6$ rouleaux :

6 \times 16{,}95 = 101{,}70 \text{ €}

Colle. Un pot suffit pour $4$ rouleaux ; pour $6$ rouleaux, il faut $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ pot. La colle est vendue au pot entier : on achète $2$ pots.

2 \times 5{,}70 = 11{,}40 \text{ €}

Total.

101{,}70 + 11{,}40 = 113{,}10 \text{ €}

La rénovation coûtera $113{,}10$ €. (La masse d’un pot de colle, $0{,}2$ kg, ne sert pas dans le calcul.)

4) Le jour de l’achat, une remise de $8\,\%$ est accordée.

Quel est le prix à payer après remise ? Arrondir au centime d’euro.

Corrigé

Une remise de $8\,\%$ revient à payer $100\,\% - 8\,\% = 92\,\%$ du prix, c’est-à-dire à le multiplier par $0{,}92$ :

113{,}10 \times 0{,}92 = 104{,}052

Le prix à payer après remise est d’environ $104{,}05$ €.

Autre méthode : la remise vaut $113{,}10 \times \dfrac{8}{100} = 9{,}048 \approx 9{,}05$ €, et $113{,}10 - 9{,}05 = 104{,}05$ €.

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