Brevet · session 2020 · Centres étrangers (groupe 1), série générale

Brevet 2020 de maths (centres étrangers, groupe 1) : sujet et corrigé

Sujet de maths prévu pour le brevet 2020 (jamais passé, Covid-19), groupe 1 : calculs et probabilités, pétanque, programme de calcul, téléphérique, Scratch.

Durée: 2 heures
Calculatrice: autorisée
Sujet officiel: PDF

Cherche chaque question avant d’ouvrir son corrigé. L’énoncé est le sujet officiel ressaisi ; les corrigés sont rédigés par Brevet-Maths.

Ancien format, sujet jamais passé (session 2020). Les épreuves du brevet 2020 ont été supprimées en raison de l’épidémie de Covid-19 (décret n° 2020-640 du 27 mai 2020) : ce sujet officiel, préparé pour juin 2020, n’a pas été donné aux candidats. Épreuve de 2 heures sur 100 points, calculatrice autorisée, sans partie « automatismes ». Ses exercices restent un bon entraînement pour la partie 2 du brevet 2027 (raisonnement et résolution de problèmes, avec calculatrice).

Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.

L’évaluation prend en compte la clarté et la précision des raisonnements ainsi que, plus largement, la qualité de la rédaction. Elle prend en compte les essais et les démarches engagées, même non abouties. Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf mention contraire.

Exercice 1 : fractions, diviseurs, puissances de 10, volume, Pythagore et probabilités (22 points)

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes.

1. Calculer $\dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{8} \times \dfrac{1}{3}$ en détaillant les étapes. Exprimer le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Corrigé

La multiplication est prioritaire sur la soustraction :

\dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{8} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{8} - \dfrac{5}{24} = \dfrac{21}{24} - \dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2 \times 8}{3 \times 8} = \dfrac{2}{3}

Le résultat est $\dfrac{2}{3}$ , fraction irréductible ( $2$ et $3$ n’ont pas d’autre diviseur commun que $1$ ).

2. On sait que $342 = 2 \times 3^2 \times 19$ et que $380 = 2^2 \times 5 \times 19$ .

Déterminer le plus grand nombre entier qui divise à la fois $342$ et $380$ .

Corrigé

Un diviseur commun ne peut contenir que les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec au plus l’exposant le plus petit : $2$ (une fois, car $342$ ne contient qu’un facteur $2$ ) et $19$ . Le facteur $3$ n’est pas dans $380$ , le facteur $5$ n’est pas dans $342$ .

2 \times 19 = 38

Le plus grand nombre entier qui divise à la fois $342$ et $380$ est $38$ : $342 = 38 \times 9$ et $380 = 38 \times 10$ .

3. Comparer ces deux longueurs : $11 \times 10^{-8}$ m et $0{,}9 \times 10^{-5}$ m.

Corrigé

On écrit les deux longueurs en écriture décimale :

11 \times 10^{-8} = 0{,}000\,000\,11 \text{ m} \qquad 0{,}9 \times 10^{-5} = 0{,}000\,009 \text{ m}

Donc $0{,}9 \times 10^{-5}$ m est la plus grande longueur : $11 \times 10^{-8} < 0{,}9 \times 10^{-5}$ .

On peut aussi passer par l’écriture scientifique : $11 \times 10^{-8} = 1{,}1 \times 10^{-7}$ et $0{,}9 \times 10^{-5} = 9 \times 10^{-6}$ ; l’exposant $-6$ est plus grand que $-7$ .

4. Une boule a pour diamètre $6$ cm. Déterminer une valeur approchée de son volume au $\text{cm}^3$ près.

Formule du volume d’une boule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$ dans laquelle $r$ est le rayon de la boule.

Corrigé

Le rayon est la moitié du diamètre : $r = 6 \div 2 = 3$ cm.

V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3

Le volume de la boule est d’environ $113 \text{ cm}^3$ .

5. Les longueurs des côtés d’un triangle sont $3{,}9$ cm ; $6{,}4$ cm et $5{,}2$ cm. Ce triangle est-il un triangle rectangle ?

Corrigé

Le plus long côté mesure $6{,}4$ cm. On compare le carré de cette longueur à la somme des carrés des deux autres :

6{,}4^2 = 40{,}96

3{,}9^2 + 5{,}2^2 = 15{,}21 + 27{,}04 = 42{,}25

$40{,}96 \neq 42{,}25$ : l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée. D’après le théorème de Pythagore (par contraposée), ce triangle n’est pas rectangle.

6. Une urne contient $20$ boules colorées indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule dans l’urne. Sachant que la probabilité de tirer une boule jaune est égale à $\dfrac{1}{5}$ , déterminer le nombre de boules jaunes dans cette urne.

Corrigé

Les boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même probabilité d’être tirée. La probabilité de tirer une boule jaune est donc $\dfrac{\text{nombre de boules jaunes}}{20}$ .

20 \times \dfrac{1}{5} = 4

L’urne contient $4$ boules jaunes : on a bien $\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$ .

7. On fait tourner la roue ci-dessous et on attend qu’elle s’arrête. Une flèche verticale fixe permet alors de pointer un secteur angulaire. Chaque secteur angulaire a la même probabilité d’être pointé par la flèche. Quelle est la probabilité que la flèche indique un secteur angulaire de couleur grise qui contient un nombre premier ?

Roue partagée en 12 secteurs égaux, grisés un sur deux, avec une flèche verticale au-dessus. En partant du haut et dans le sens des aiguilles d’une montre : 1 (blanc), 2 (gris), 3 (blanc), 5 (gris), 7 (blanc), 8 (gris), 11 (blanc), 13 (gris), 14 (blanc), 15 (gris), 21 (blanc), 23 (gris)

Corrigé

La roue a $12$ secteurs, qui ont tous la même probabilité d’être pointés.

Les secteurs gris portent les nombres $2$ , $5$ , $8$ , $13$ , $15$ et $23$ . Parmi eux, les nombres premiers sont $2$ , $5$ , $13$ et $23$ ( $8 = 2 \times 4$ et $15 = 3 \times 5$ ne sont pas premiers). Il y a donc $4$ issues favorables sur $12$ :

p = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}

La probabilité cherchée est $\dfrac{1}{3}$ .

Exercice 2 : pétanque, étendue, moyenne et médiane (13 points)

La pétanque est un jeu qui oppose deux équipes adverses. L’objectif est de lancer des boules en métal pour les placer le plus près possible d’un « but », appelé aussi « cochonnet », qui est une petite boule en bois.

Lors d’une rencontre amicale hors compétition, $10$ joueurs se présentent avec chacun $3$ boules en acier. Toutes les boules sont pesées et mesurées et les résultats sont reportés dans le tableau ci-dessous :

Diamètre en cm		$7{,}05$	$7{,}25$	$7{,}3$	$7{,}3$	$7{,}5$	$7{,}5$	$7{,}5$	$7{,}73$	$7{,}75$	$8{,}1$	$8{,}2$	$8{,}2$
Masse en g	$620$	$626$	$633$	$655$	$678$	$725$	$758$	$767$	$775$	$790$	$800$	$805$	$813$
Effectif	$1$	$2$	$4$	$5$	$2$	$3$	$4$	$1$	$1$	$2$	$2$	$2$	$1$

1. L’étendue de la série des diamètres vaut $12$ mm. Sachant que toutes les boules de pétanque de cette rencontre amicale ont un diamètre inférieur ou égal à $8{,}2$ cm, montrer que le diamètre de la boule de pétanque qui pèse $620$ grammes est $7$ cm.

Corrigé

L’étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit diamètre : $12$ mm $= 1{,}2$ cm. Le plus grand diamètre est $8{,}2$ cm (tous les diamètres sont inférieurs ou égaux à $8{,}2$ cm, et cette valeur figure dans le tableau). Le plus petit diamètre est donc :

8{,}2 - 1{,}2 = 7 \text{ cm}

Or tous les diamètres connus sont supérieurs ou égaux à $7{,}05$ cm : aucun ne vaut $7$ cm. Le seul diamètre qui peut valoir $7$ cm est celui qui manque dans le tableau, celui de la boule de $620$ g. Le diamètre de cette boule est bien $7$ cm.

2. a. Montrer que la masse moyenne des boules utilisées pour cette rencontre amicale est supérieure ou égale à $626$ grammes.

Corrigé

Il y a $10 \times 3 = 30$ boules, et la somme des effectifs fait bien $30$ . On calcule la moyenne pondérée par les effectifs :

\begin{aligned} &620 \times 1 + 626 \times 2 + 633 \times 4 + 655 \times 5 + 678 \times 2 + 725 \times 3 + 758 \times 4 \\ &+ 767 \times 1 + 775 \times 1 + 790 \times 2 + 800 \times 2 + 805 \times 2 + 813 \times 1 = 21\,387 \end{aligned}

\dfrac{21\,387}{30} = 712{,}9

La masse moyenne est de $712{,}9$ g : elle est bien supérieure ou égale à $626$ g.

2. b. Déterminer la masse médiane des boules utilisées pour cette rencontre amicale.

Corrigé

Les masses sont déjà rangées dans l’ordre croissant. L’effectif total, $30$ , est pair : la médiane est la moyenne des $15^{\text{e}}$ et $16^{\text{e}}$ valeurs.

On cumule les effectifs : $1$ ; $3$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $17$ … Les valeurs de rang $15$ à $17$ valent $725$ g. Les $15^{\text{e}}$ et $16^{\text{e}}$ valeurs valent donc toutes les deux $725$ g.

La masse médiane est $725$ g.

3. En utilisant le document ci-dessous, peut-on affirmer qu’au moins un tiers des boules utilisées lors de cette rencontre amicale ne seraient pas acceptées en compétition officielle ?

Document : Caractéristiques d’une boule de pétanque pour la compétition*

Être en métal (acier, inox, bronze, …)

Avoir un diamètre compris entre $7{,}05$ cm (minimum) et $8$ cm (maximum).

Avoir une masse comprise entre $650$ grammes (minimum) et $800$ grammes (maximum).

*D’après le règlement officiel de la Fédération Internationale de Pétanque et Jeu Provençal

Corrigé

Toutes les boules sont en acier. On compte celles qui ne respectent pas la masse ou le diamètre (bornes comprises) :

masse inférieure à $650$ g : $620$ g, $626$ g et $633$ g, soit $1 + 2 + 4 = 7$ boules ;
masse supérieure à $800$ g : $805$ g et $813$ g, soit $2 + 1 = 3$ boules ;
diamètre supérieur à $8$ cm avec une masse acceptée : les $2$ boules de $8{,}1$ cm (et $800$ g). Les boules de $8{,}2$ cm sont déjà comptées (elles pèsent $805$ g ou $813$ g) ;
diamètre inférieur à $7{,}05$ cm : seulement la boule de $7$ cm (et $620$ g), déjà comptée.

Au total, $7 + 3 + 2 = 12$ boules sur $30$ seraient refusées. Un tiers des boules, c’est $30 \div 3 = 10$ boules, et $12 \geqslant 10$ (soit $\dfrac{12}{30} = 40$ %).

Oui, on peut affirmer qu’au moins un tiers des boules ne seraient pas acceptées en compétition officielle.

Exercice 3 : programme de calcul, développer, factoriser et fonction (25 points)

Voici un programme de calcul :

Choisir un nombre

Lui ajouter $2$

Mettre le résultat au carré

Enlever $9$

1. a. Vérifier que, si l’on choisit $3$ comme nombre de départ, alors ce programme donne $16$ comme résultat.

Corrigé

3 + 2 = 5 \qquad 5^2 = 25 \qquad 25 - 9 = 16

Le programme donne bien $16$ .

1. b. Si l’on choisit $-6$ comme nombre de départ, quel résultat donne ce programme ?

Corrigé

-6 + 2 = -4 \qquad (-4)^2 = 16 \qquad 16 - 9 = 7

Le programme donne $7$ .

Dans toute la suite de cet exercice, on appelle $x$ le nombre choisi au départ.

2. Exprimer le résultat de ce programme en fonction de $x$ .

Corrigé

On ajoute $2$ : $x + 2$ . On met au carré : $(x + 2)^2$ . On enlève $9$ . Le résultat est :

(x + 2)^2 - 9

3. a. Montrer que le résultat de ce programme peut s’écrire sous forme factorisée $(x + 5)(x - 1)$ .

Corrigé

Comme $9 = 3^2$ , le résultat est une différence de deux carrés. On utilise l’identité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x + 2$ et $b = 3$ :

(x + 2)^2 - 3^2 = \big((x + 2) - 3\big)\big((x + 2) + 3\big) = (x - 1)(x + 5)

Le résultat s’écrit bien $(x + 5)(x - 1)$ .

3. b. Quel(s) nombre(s) doit-on choisir au départ pour trouver $0$ comme résultat ?

Corrigé

On résout $(x + 5)(x - 1) = 0$ . Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :

x + 5 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 1 = 0

x = -5 \quad \text{ou} \quad x = 1

Il faut choisir $-5$ ou $1$ . Vérification : $(-5 + 2)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ et $(1 + 2)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$ .

3. c. Donner une valeur de $x$ telle que le résultat du programme soit un nombre négatif.

Corrigé

Par exemple $x = 0$ : $0 + 2 = 2$ , $2^2 = 4$ , $4 - 9 = -5$ , qui est négatif. Avec la forme factorisée : $(0 + 5)(0 - 1) = 5 \times (-1) = -5$ .

Tout nombre strictement compris entre $-5$ et $1$ convient : le facteur $x + 5$ est alors positif et le facteur $x - 1$ négatif, donc leur produit est négatif.

4. Montrer que le résultat du programme s’écrit sous forme développée $x^2 + 4x - 5$ .

Corrigé

On développe la forme factorisée par double distributivité :

(x + 5)(x - 1) = x \times x - x \times 1 + 5 \times x - 5 \times 1 = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5

On peut aussi partir de la question 2 : $(x + 2)^2 - 9 = (x + 2)(x + 2) - 9 = x^2 + 2x + 2x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5$ .

5. On appelle $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 + 4x - 5$ .

5. a. La fonction $f$ est-elle une fonction affine ?

Corrigé

Non. Une fonction affine s’écrit $x \mapsto ax + b$ : quand $x$ augmente de $1$ , son image augmente toujours de $a$ . Or :

f(0) = -5 \qquad f(1) = 1 + 4 - 5 = 0 \qquad f(2) = 4 + 8 - 5 = 7

De $0$ à $1$ , l’image augmente de $5$ ; de $1$ à $2$ , elle augmente de $7$ . Ce n’est donc pas une fonction affine (son expression contient le terme $x^2$ ).

5. b. Déterminer les antécédents de $-5$ par $f$ .

Corrigé

On résout $f(x) = -5$ :

x^2 + 4x - 5 = -5 \iff x^2 + 4x = 0 \iff x(x + 4) = 0

Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x = 0$ ou $x + 4 = 0$ , c’est-à-dire $x = -4$ .

Les antécédents de $-5$ par $f$ sont $0$ et $-4$ . Vérification : $f(-4) = 16 - 16 - 5 = -5$ .

Exercice 4 : téléphérique de Grenoble, trigonométrie, pente, vitesse et tarifs (20 points)

Le téléphérique de la ville de Grenoble relie le centre-ville au Fort Bastille construit sur une colline surplombant la ville. Sa longueur est de $673$ mètres.

La situation est schématisée par la figure ci-dessous.

1. Montrer que la longueur $AH$ que l’on appelle dénivelé entre les points de départ et d’arrivée est égale à $262$ m.

Corrigé

Le point $H$ est sur l’horizontale qui passe par $D$ : il est à la même altitude que $D$ , $213$ m. Le point $A$ est à $475$ m d’altitude, à la verticale de $H$ :

AH = 475 - 213 = 262 \text{ m}

2. Déterminer, au dixième de degré près, la mesure de l’angle $\widehat{ADH}$ .

Corrigé

Le triangle $ADH$ est rectangle en $H$ , d’hypoténuse $[AD]$ . Pour l’angle $\widehat{ADH}$ , $[AH]$ est le côté opposé :

\sin \widehat{ADH} = \dfrac{AH}{AD} = \dfrac{262}{673}

La calculatrice donne $\widehat{ADH} \approx 22{,}9°$ .

3. La pente du téléphérique s’obtient en calculant le quotient :

\text{pente} = \dfrac{AH}{DH} = \dfrac{\text{dénivelé}}{\text{distance horizontale correspondante}}

La pente de ce téléphérique est-elle supérieure à $50$ % ?

Corrigé

On calcule $DH$ avec le théorème de Pythagore dans le triangle $ADH$ rectangle en $H$ :

DH^2 = AD^2 - AH^2 = 673^2 - 262^2 = 452\,929 - 68\,644 = 384\,285

DH = \sqrt{384\,285} \approx 619{,}9 \text{ m}

\text{pente} = \dfrac{262}{\sqrt{384\,285}} \approx 0{,}423 = 42{,}3 \%

Non, la pente de ce téléphérique (environ $42$ %) n’est pas supérieure à $50$ %.

Autre façon de voir. Une pente de $50$ % correspondrait à un dénivelé égal à la moitié de la distance horizontale, soit environ $619{,}9 \div 2 \approx 310$ m ; le dénivelé n’est que de $262$ m.

4. Un trajet entre $D$ et $A$ dure $4$ minutes. Pour simplifier, on considère que la vitesse du téléphérique est constante pendant tout le trajet.

4. a. Montrer que la vitesse du téléphérique pour ce trajet est d’environ $2{,}8$ m/s.

Corrigé

$4$ min $= 4 \times 60 = 240$ s, et la cabine parcourt $673$ m :

v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{673}{240} \approx 2{,}80 \text{ m/s}

La vitesse est bien d’environ $2{,}8$ m/s.

4. b. Au départ, le point d’attache de la première cabine est au point $D$ . À quelle altitude se situe ce point d’attache $3$ minutes après son départ ?

Corrigé

La vitesse est constante : en $3$ minutes sur $4$ , le point d’attache parcourt les $\dfrac{3}{4}$ du câble. Appelons $M$ sa position sur $[DA]$ et $N$ le point de $[DH]$ à la verticale de $M$ :

DM = \dfrac{3}{4} \times 673 = 504{,}75 \text{ m}

Les droites $(MN)$ et $(AH)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(DH)$ , donc parallèles. D’après le théorème de Thalès dans le triangle $ADH$ :

\dfrac{MN}{AH} = \dfrac{DM}{DA} = \dfrac{3}{4}, \quad \text{donc} \quad MN = \dfrac{3}{4} \times 262 = 196{,}5 \text{ m}

Le point d’attache s’est élevé de $196{,}5$ m au-dessus du départ :

213 + 196{,}5 = 409{,}5 \text{ m}

Trois minutes après le départ, le point d’attache est à $409{,}5$ m d’altitude environ. En prenant la vitesse arrondie à $2{,}8$ m/s, on trouve $DM = 2{,}8 \times 180 = 504$ m et une altitude d’environ $409$ m.

5. Voici les tarifs du téléphérique du fort Bastille :

Plein tarif	Tarif enfants de moins de 15 ans	Tarif enfants de 15 ans à 18 ans
Aller simple : $5{,}60$ €	Aller simple : $3{,}20$ €	Aller simple : $4{,}20$ €

Madame Dupond, monsieur Dupond et leurs cinq enfants, âgés de moins de $18$ ans, ont acheté sept allers simples pour monter ensemble au fort Bastille par le téléphérique. Madame Dupond a réglé au total $30{,}20$ €.

Dans la famille Dupond, combien d’enfants ont moins de $15$ ans ?

Corrigé

Les deux parents paient le plein tarif : $2 \times 5{,}60 = 11{,}20$ €. Les cinq enfants ont donc coûté :

30{,}20 - 11{,}20 = 19 \text{ €}

Si les cinq enfants avaient de $15$ à $18$ ans, leurs billets coûteraient $5 \times 4{,}20 = 21$ €. Chaque enfant de moins de $15$ ans fait économiser $4{,}20 - 3{,}20 = 1$ € sur ce total. On a économisé $21 - 19 = 2$ € : il y a $2$ enfants de moins de $15$ ans.

Vérification : $2 \times 3{,}20 + 3 \times 4{,}20 = 6{,}40 + 12{,}60 = 19$ €.

Dans la famille Dupond, $2$ enfants ont moins de $15$ ans (et $3$ ont de $15$ à $18$ ans).

Exercice 5 : Scratch, triangles équilatéraux, pourcentage et homothétie (20 points)

Pour réaliser la figure 1 constituée de triangles équilatéraux, Solène a écrit le programme ci-dessous, dans lequel deux valeurs ont été effacées. Les longueurs sont données en nombre de pixels.

Figure 1 : cinq triangles équilatéraux emboîtés, de plus en plus petits, qui ont tous le même sommet en bas à gauche et leur base sur la même droite horizontale

Cette figure n’est pas à l’échelle.

Script principal                      Bloc « Triangle équilatéral »
quand le drapeau vert est cliqué      définir [Triangle équilatéral]
s'orienter à (90)                     répéter (3) fois
aller à x: (0) y: (0)                   avancer de (côté)
effacer tout                            tourner ↺ de ( ) degrés
stylo en position d'écriture
mettre [côté] à (125)
mettre [k] à (0.8)
répéter ( ) fois
  Triangle équilatéral
  mettre [côté] à ((côté) * (k))

On rappelle que l’instruction « s’orienter à $90$ » consiste à s’orienter horizontalement vers la droite.

1. a. Donner le nombre associé à l’instruction « répéter » (ligne 8) qui a été effacé dans le script principal.

Corrigé

Chaque passage dans la boucle trace un triangle. La figure 1 compte $5$ triangles : le nombre effacé est $5$ .

1. b. Donner le nombre associé à l’instruction « tourner » (ligne 4) qui a été effacé dans le bloc « Triangle équilatéral ».

Corrigé

Les angles d’un triangle équilatéral mesurent $60°$ . À chaque sommet, le lutin doit changer de direction de $180° - 60° = 120°$ : le nombre effacé est $120$ .

Après les trois côtés, le lutin a tourné de $3 \times 120° = 360°$ : il est revenu au point de départ, de nouveau orienté vers la droite.

2. Montrer que la longueur du côté du deuxième triangle tracé est $100$ pixels.

Corrigé

Le premier triangle est tracé avec la valeur de départ, $\text{côté} = 125$ . Ensuite, l’instruction « mettre côté à côté $*$ k » multiplie la longueur par $k = 0{,}8$ :

125 \times 0{,}8 = 100

Le deuxième triangle a bien des côtés de $100$ pixels.

3. Les deux affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

Affirmation 1 : « D’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme, la longueur du côté du triangle diminue de $20$ %. »

Affirmation 2 : « D’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme, l’aire du triangle est multipliée par $0{,}64$ . »

Corrigé

Affirmation 1 : vraie. D’un triangle au suivant, la longueur du côté est multipliée par $0{,}8 = 1 - \dfrac{20}{100}$ : elle diminue de $20$ %. Par exemple, de $125$ à $100$ pixels, la baisse est de $25$ pixels, et $\dfrac{25}{125} = 0{,}2 = 20$ %.

Affirmation 2 : vraie. Le triangle suivant est une réduction du précédent de rapport $0{,}8$ (deux triangles équilatéraux ont la même forme). Dans une réduction de rapport $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ :

0{,}8^2 = 0{,}64

4. a. Quel est le nom de la transformation du plan qui permet de passer d’un triangle au triangle suivant dans l’exécution du programme ?

Corrigé

Chaque triangle part du point de coordonnées $(0 \;;\; 0)$ , orienté vers la droite (le lutin y revient à la fin de chaque triangle) : les triangles ont le même sommet, et leurs côtés sont parallèles deux à deux. On passe d’un triangle au suivant par une homothétie de centre le point de départ $(0 \;;\; 0)$ et de rapport $0{,}8$ .

4. b. Solène souhaite modifier son programme pour que chaque triangle tracé soit un agrandissement du triangle précédent dans l’exécution du programme. Donner une valeur possible pour $k$ .

Corrigé

Pour un agrandissement, il faut multiplier la longueur du côté par un nombre supérieur à $1$ . Par exemple $k = 1{,}2$ : les côtés mesurent alors $125$ ; $150$ ; $180$ ; $216$ ; $259{,}2$ pixels. Toute valeur de $k$ strictement supérieure à $1$ convient (dans Scratch, on écrit 1.2).

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20GENMATG11 · session 2020

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